向量法的应用举隅

谢加英

【摘要】 向量是现代数学中的重要概念，具有代数和几何形式的双重身份，它有着极其丰富的实际背景，在解题中具有独特的功能. 用向量法处理几何、代数问题更易操作，也很巧妙.本文从以下几个方面例举向量法在解决代数、几何等问题中的应用.

【关键词】 向量法 数量积 三角函数 不等式

【中图分类号】 G423 【文献标识码】 A 【文章编号】 1006-5962（2013）01（a）-0214-02

1 处理最大值问题，尽显向量法魅力

例1 设实数满足条件，=5，则的最大值是（ ）

（A）3 （B） （C） （D）

分析 由想到向量数量积的坐标表达式；由，=5想到向量的模。令，且=，由，可知选B.

例2（2008年广东高考题·理科）若变量满足则的最大值是（ ）

（A）90 （B）80 （C）70 （D）40

分析 作出可行域（读者可自行作出），设为可行域内任意一点，，则=，而为定值，根据数量积的几何意义可知，z的最值依赖于向量在向量方向上的投影的最值，由图可知为直线与的交点时，==2×20+3×10=70，故选C.

评注 例1实质是柯西不等式的变形使用，后文将进一步举例说明.例2把目标函数变形，创造了线性规划问题与向量的有机联系.如果进一步研究，许多线性规划问题都可以用向量知识来处理.

2 化抽象为具体，巧妙处理空间几何问题

例3 在棱长为1的正方体中，如图2，交平面于.

（a）求证： 1°⊥；2°⊥平面；3°；4°平面∥平面.（b）求：1°平行平面与的距离；2°与的距离.

解析 建立空间直角坐标系.

所以·=（-1）·（-1）+（-1）·1+1·0=0，

即 ⊥.

由对称性 ⊥.

所以⊥平面.同理⊥平面，所以平面∥平面.

又，它在上的射影

即，所以.

同样，线段与平面的交点满足，所以平面与平面的距离.

，所以

.

，

所以与的距离为·=.

评注 通过引入空间向量，用向量的代数形式来处理立体几何问题，体现了“数”与“形”的有机结合，淡化了传统几何中“形”到“形”的推理方法，从而降低了思维难度，使解题变得程序化、简单化，这是用向量法解立体几何问题的独到之处.

3 向量法在三角函数中的应用

例4 求值：cos9°+cos81°+cos153°+cos225°+cos297°.

解析 观察各角的变化，前后相差72°且刚好有五个角，而正五边形的每个外角都是72°，故可作边长为1的正五边形且与轴正方向的夹角为9°，则，，，，，

由

知.此时亦可得：.

评注 看似难以解决的三角函数求值问题，应发掘其它数学知识与向量的关系，形成用向量解题的思路.

例5 若，求的取值范围.

解析 令向量，向量，则.

由，知，所以的取值范围是.

评注 此法还可解决此类问题的推广：若，求的取值范围.

4 巧用向量法，妙证不等式

例6 设为正数，求证.

证明 令向量，则= =，即.

同样的思路，读者不妨试着证明如下不等式：若，求证（例1中的二维向量推广到三维向量）

例7 证明柯西—布雅尼柯夫斯基不等式

.

证明 令向量，则

==.

即.

通过证明柯西—布雅尼柯夫斯基不等式，读者也不妨试着证明如下不等式：（1）设为不相等的正数，求证；（2）设为任意正数，求证.

评注 代数不等式的证明，一般较难下手，而且都要进行繁杂的运算. 但如果应用向量代数的有关知识和运算方法，不仅方法新颖，而且简捷明快.

参考文献

[1] 单遵.数学竞赛研究教程（下）[M].南京：江苏教育出版社，2009，2：121—122.

[2] 吕林根，许子道.解析几何[M].北京：高等教育出版社，2006，5：1—62.

[3] 周金波，刘加元.巧用向量的数量积解非向量问题[J].高中数学教与学，2011（1）：47—48.