直觉模糊集熵的一种计算公式

田大增，杨忠堂，王超，哈明虎

（1.河北大学 数学与计算机学院，河北 保定 071002；2.河北大学 物理科学与技术学院，河北 保定 071002）

熵是描述系统混乱程度的一种度量，最初应用于热力学中.1948年Shannon［1］为描述信息的随机不确定性，首次将熵引入到信息论中.模糊性作为信息的另一种不确定性，能够描述事物的“亦此亦彼”特性，摆脱了分明集“非此即彼”的限制，也逐渐受到学者的关注.为描述模糊集［2］的不确定性即模糊性，1968年Zadeh［3］首先提出了模糊熵的概念.继而De Luca和Termini［4］于1972年提出了模糊熵的公理化定义并利用Shannon函数构造了模糊熵的计算公式.之后 Kaufmann［5］，Yager［6］，Kosko［7］等人利用不同的方法，构造了其他形式的模糊熵.然而，模糊熵仅限于度量模糊集的模糊性，在更为广泛的条件下却不适用.

1983年Atanassov［8］进一步发展和扩充了模糊集，提出了直觉模糊集.直觉模糊集在模糊集基础上增加了一个新的属性参数——非隶属度，进而可以描述“非此非彼”的模糊概念.为度量直觉模糊集的不确定性，很多学者对直觉模糊集的熵进行了研究.1996年，Burillo和Bustince［9］首先引入直觉模糊集的熵，然而这个熵的定义与模糊熵之间不具有相容性.2001年Szmidt和Kacprzyk［10］利用距离度量，提出另一种直觉模糊集的熵的定义，在此定义中当直觉模糊集退化为模糊集时，满足模糊熵的公理化定义.2006年，Hung和Yang［12］通过对De Luca和Termini提出的模糊熵公理化定义扩展，提出了2种新的直觉模糊集的熵的计算公式.

2011年，吕印超和郭嗣琮［13］指出直觉模糊集的熵应该是模糊性与犹豫性两者的综合性度量即模糊度与犹豫度的综合，进而给出了直觉模糊集熵的新公理化定义和直觉模糊集的熵的一般形式.然而在直觉模糊集的模糊度中蕴含了犹豫度，不能精确描述直觉模糊集的模糊性.基于此，本文进一步讨论了直觉模糊集的模糊度的公理化定义及其计算方法，并给出了直觉模糊集熵的计算公式.

1 预备知识

直觉模糊集的熵的大小取决于模糊度和犹豫度.当不确定性相同时，直觉模糊集的熵的大小取决于模糊度；当模糊度相同时，直觉模糊集的熵的大小取决于不确定度.容易看出，当A退化为模糊集时，上述直觉模糊集的熵的定义与模糊集的熵的定义也是等价的.

2 模糊度的公理化定义与直觉模糊集的熵的计算公式

为描述直觉模糊集的模糊性，文献［13］首次提出了模糊度（定义4）的概念.然而在某些情况下，该定义无法准确的描述直觉模糊集的模糊性.

在直觉模糊集中，隶属度μ（x）、非隶属度ν（x）和由之得到的犹豫度π（x）是3个重要参数.隶属度、非隶属度从不同侧面反映了集合元素的模糊性，π（x）反映了集合元素的不确定性.因此，直觉模糊集的熵应该同时表现这2个方面的性质.显然，直觉模糊集的模糊性与模糊度有关，犹豫性与犹豫度有关［16］.

由文献［13］可知模糊度是一种在直觉模糊集上利用隶属度、非隶属度对集合的模糊性的度量.当直觉模糊集A退化为模糊集时，也就意味着A只存在模糊性，而犹豫性不存在，即犹豫度为0；且当μA（x）＝0.5时，其模糊熵（或模糊度）达到最大值.而当直觉模糊集B是完全直觉的，此时B只存在犹豫性，而隶属度和非隶属度均为0，所以不存在模糊性，即模糊度为0.

显然与模糊度的意义相矛盾，因此对于例中所出现的问题也就不难理解了.

既然模糊度作为一种利用隶属度、非隶属度对集合的模糊性的度量，而模糊熵也是对模糊集的模糊性的一种度量.所以不妨在直觉模糊集上对模糊熵进行推广，进而得到在直觉模糊集上的模糊度的公理化定义.

当A，B退化为模糊集时，直觉模糊集的模糊度退化成模糊集的模糊熵.

3 基于直觉模糊集熵的多属性决策算法及案例分析

4 结论

给出了直觉模糊集的模糊度的公理化定义及其计算方法，并利用直觉模糊集的模糊度和犹豫度，提出了直觉模糊集的熵的计算公式.然后将该计算公式应用于多属性决策算法，验证了其在处理直觉模糊集不确定性方面的有效性.

［1］SHANNON C.The Mathematical Theory of Communication［M］.Urbana：The University of Illinois Press，1949.

［2］ZADEH L A.Fuzzy sets［J］.Information and Control，1965，8（3）：338－353.

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［5］KAUFMANN A.Introduction to the Theory of Fuzzy Subsets［M］.New York：Academic Press，1975.

［6］YAGER R.On measures of fuzziness and negation［J］.Part I：Membership in the Unit Interval.International Journal of General Systems，1979，5：221－229.

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