关于分式方程增根问题的探讨

关柏林

在解分式方程时，要在方程两边同时乘以最简公分母，所化成的整式方程与原方程并不一定是同解方程，整式方程的解就会出现两种情况：一是整式方程无解，导致原分式方程无解；二是整式方程有解，但是不适合原分式方程，即产生增根。所以说，分式方程无解不一定有增根，而有增根必无解，弄清了这两点，我们在求解有关分式方程增根的问题时，就会轻松一些。下面仅就几个典型的例题来进一步理解分式方程增根的问题。

例1：求分式方程■=0的解。

解：方程两边同时乘以X后，化成整式方程得X=0，我们可以发现，此整式方程无解，当然原分式方程无解。这里要注意的是原分式方程无增根，即分式方程■=0的解的情况是无解且无增根。

提示：此分式方程是最简单的分式方程，但它可以很好地说明分式方程无解不一定有增根。教学时可强调这一点，让学生深刻理解并记住这一例题。

例2：求分式方程■=■=的解。

解：方程两边同时乘以最简公分母x2-1后得x+1=2，解得x=1，此时x=1是整式方程的解。但x=1使最简公分母为零，所以原方程无解，即分式方程■=■=的解的情况是无解有增根。

提示：这道例题是一个最为普遍的分式方程增根的问题，也最好理解，它是由于方程有增根从而导致原分式方程无解的问题，是我们教学中经常遇到的问题，教学中应重点强调。

例3：若关于X的分式方程-■-■=1无解，求a值。

解：方程两边同时乘以最简公分母x（x-1）化成整式方程为（a+2）x=3，第一种情况：当a=-2时，使整式方程无解导致分式方程无解，但无增根；第二种情况：把x=0与x=1可能是方程增根的两个x值代入，求a值。当x=0时，a无解。说明不存在这样的a值。使原分式方程的增根为x=0，当x=1时，能得a=1。此时，存在这样的a值使原方程的增根为x=1，按题意要求使原分式方程无解的a值有两个即a=1或a=-2。

提示：方程中参数a对方程的解起着决定性的作用，讨论a的值时要分清情况，尤其要注意使最简公分母为0的x的值并不一定都是原方程的增根，由以上分析可看出当x=0时不存在这样的 a 值使原分式方程的增根为x=0。

例4：求使分式方程■-1=■有增根的m值。

解：方程两边同乘以最简公分母（x-1）（x+2）化成整式方程为x+2=m，即：x=m-2，当x=-2或x=1时，都会使最简公分母为0，使原分式方程无解，从而我们可求出m=0或m=3。当m=0时，原方程为■-1=0，此方程根的情况是无解，但无增根；而当m=3时，原方程为■-1=■，此方程无解但有增根。综上所述，正确的答案是m=3。

提示：这是一道中考题，解题者往往忽略分式方程无解时并不一定有增根，只是简单地代入使最简公分母为0的值x=-2和x=1从而求出m=0和m=3，这样就会出现错误，原因就是使最简公分母为0的值并不都是方程的增根，有的使整式方程无解，都不是原分式方程的增根。

例5：若关于x的分式方程■=2的解为正数，则m的取值范围是 A m﹥-1 B m ≠1 C m﹥1且 m≠ -1 D m﹥-1 且 m≠1。

解：方程两边同乘以最简公分母（x-1）化成整式方程为（m-1）=2（x-1），解得x的值是x=■，因为此方程中的解为正数即x=■﹥0，但此时 x的值不能为1，当 x =1时此方程无解，不符合题意要求，所以求出的取值范围为 m﹥1且 m≠ -1。

提示：解题者往往只关注解为正数，而忽略当m﹥1时存在使原方程无解，但此时 m=1只是使其无解，并不产生增根，在教学时要注意语言的准确性和规范性。

例6：若关于x的分式方程■=1的解为整数，则整数 a 的值为多少？

解：方程两边同乘以最简公分母（x=2）化为整式方程为 ax=x+2， 从中把x用含有a 的代数式来表示为x=■，因为x 为整数，a为整数，所以我们可以看出能被2整除的整数位+1、-1、+2、-2四个整数，但要考虑使方程无解时即a-1=±1、a-1=±2 的 a 值，在这种情况下我们可以求出符合条件的a 的值有三个，即a=2，a=3与a=-1。

提示：学生在求解此题时有两个难点，一是不会把 x用含 a的式子表示出来，然后根据正整数解讨论，二是忽略使原分式方程产生增根的a 的值，导致结果出现错误。

由上述几道例题我们不难发现，在解有关含有参数的分式方程的增根问题时，首先要明确题目要求是无解还是有增根，然后再根据具体问法慎重解决此类问题。一般可以按照三步进行求解，第一步：先把方式方程化为整式方程，第二步：代入使最简公分母为0的x 的值，从而求出参数的值，当参数字母在 x的系数位置时，还要考虑使整式方程无解时的值，第三步：把求出的参数字母的值再返回代入原方程中看一看究竟是使原分式方程无解还是产生增根，再根据问法写出正确结果。

（责任编辑 付淑霞）