“选系法”在力学问题中的应用

刘俊娟

(河北师范大学附属民族学院 河北 石家庄 050091 )

魏增江

(石家庄理工职业学院 河北 石家庄 050228)

在力学中，参考系的选择是一个十分重要的问题.因为运动的描述是相对的，即同一物体的运动相对于不同参考系有不同的描述，也就是说，物体的运动只能相对于选定的参考系来确定，所以，处理任何一个力学问题，必须首先选定参考系.

参考系分为惯性参考系(简称惯性系)与非惯性参考系(简称非惯性系)两类.惯性定律即牛顿第一定律成立的参考系称为惯性系，反之称为非惯性系[1].惯性定律定义了惯性系，牛顿第二定律是在惯性系中由实验得出的力和加速度之间的定量关系，因此，牛顿第二定律只适用于惯性系.由牛顿定律导出的动量定理、角动量定理、动能定理、功能原理、动量守恒定律、角动量守恒定律以及机械能守恒定律等规律也只适用于惯性系.如果要在非惯性系中应用牛顿定律、动量定理、角动量定理、动能定理等规律，则必须要考虑惯性力，但由于惯性力没有反作用力，所以,必须把它作为外力来考虑.处理实际问题时，如何选取参考系，由问题的性质和处理简便与否而定.

1 升降机的加速度[2]

图1

【例1】在加速上升的升降机中，相对于升降机以u的速度竖直上抛一物体，物体未能达到天花板便返回手中.已知物体在空中的时间为t，求升降机竖直向上的加速度.

解析：设t=0时升降机的速度为v.

方法1：选地面为参考系(惯性系)，如图1所取坐标，分别以升降机及物体为研究对象，根据匀变速直线运动公式，对升降机底板有

(1)

对物体有

(2)

联立式(1)、(2)解得

方法2：选升降机为参考系，取坐标竖直向上.以物体为研究对象，根据匀变速直线运动公式及加速度变换公式有

故

结果完全相同，两种方法相比，显然后一种方法比较简便.

可见，对于运动学的问题，由于不需要考虑惯性力，因此,参考系的选择完全是任意的，怎么方便就怎么选.对于动力学问题，如果选非惯性系，就必须考虑惯性力.非惯性系有两类，一类是直线运动的，另一类是转动的.下面就以转动为例，分别用惯性系和非惯性系来求解.

2 可动容器中下滑的物块[3]

【例2】 如图2所示，质量为m的小物块，从内壁为半球形的容器的边缘滑下.容器放在光滑水平面上.容器质量为M，容器内壁光滑，内壁半径为R.开始物块和容器都静止.求物块滑至容器内壁的最低点时容器内壁对物块的作用力.

方法1：选地面为参考系(惯性系)

图2

图3

解析：以物块为研究对象，物块在容器内壁的最低点受力如图3所示.根据牛顿第二定律有

(3)

式中v为物块在容器内壁最低点时的速率，ρ为物块运动轨道在最低点的曲率半径.为求出v，选物块、容器系统，因系统水平方向无外力，故系统水平方向动量守恒.

设物块滑到容器内壁最低点时容器对地的速率为V.如图4取坐标，由动量守恒定律有

0=mv-MV

(4)

图4

选物块、容器、地球系统，因物块下滑过程满足A外+A非保内=0故系统机械能守恒.选光滑水平面为势能参考面，由机械能守恒定律有

(5)

联立式(4)、(5)解得

(6)

为求出ρ，须先求出物块相对地面的轨迹.为此，取固定在地面上的坐标系xOy(称S系)和固定在容器上的坐标系x′O′y′(称S′系),如图5所示.并设物块开始下滑时t=0，O与O′点重合；在时刻t，物块在S系的坐标为(x,y),S′系的原点O′在S系中的坐标为(xO′，0)；物块对容器的速度为v′.则在S′系中，物块的轨道方程为

(x′-R)2+y′2=R2

(7)

图5

又易知

y′=y

(8)

因系统水平方向动量守恒，故有

0=m(vx′-V)-MV

(9)

在式(9)两边乘以dt后积分得

(10)

又由r=rO′+r′可得

x=-xO′+x′

(11)

将式(10)代入式(11)得

(12)

由式(12)、(8)代入式(7)得

(13)

(14)

把式(14)、(6)代入式(3)解得

方向竖直向上.

方法2：选容器为参考系(非惯性系)

解析：以物块为研究对象，在容器内壁最低点物块除受重力G及容器内壁对它的支持力N外，还受惯性力f惯，其方向水平向右.由非惯性系中牛顿第二定律，物块在竖直方向的运动方程为

(15)

式中v′是物块在容器内壁最低点相对于容器的速率.

由速度变换有

(16)

代入式(15)中可得

方向竖直向上.

可见，两种方法结果完全相同.但此题选容器参考系(非惯性系)比选地面参考系求解简便得多.在惯性系中求解，概念较多，容易出错，方程较多，求解较繁.

在选定参考系之后，要定量描述、求解运动，必须建立适当的坐标系.建立了坐标系之后，所有矢量都用它们在各坐标轴上的投影来表示.坐标系的选择是任意的，实践中主要由问题的性质和处理问题的方便性来决定.

参考文献

1 康颖. 大学物理(新版)第一版.北京：科学出版社，2005.39～41

2 张三慧.大学物理学.北京：清华大学出版社，2004.39

3 马文尉.物理学教程.北京：高等教育出版社，2007.40