对称逆半群到部分变换半群上的同态

林 双，杨秀良

（杭州师范大学理学院，浙江 杭州 310036）

对称逆半群到部分变换半群上的同态

林 双，杨秀良

（杭州师范大学理学院，浙江 杭州 310036）

设ISn和PTn分别是集合Xn＝｛1，2，…，n｝上的对称逆半群和部分变换半群.文章刻画了ISn到PTn上的所有同态.

同态；同态核；同余

令Xn＝｛1，2，…，n｝.集合Xn上的所有部分变换在复合运算下构成的半群称作是Xn的部分变换半群，记作PTn.Xn上的所有部分单变换在复合运算下构成的半群称作是Xn的对称逆半群，记作ISn.Xn上的所有全变换在复合运算下构成的半群称作是Xn的全变换半群，记作Tn.本文规定复合运算从右到左：对任意的变换α，β和任意的x∈Xn有αβ（x）＝α（β（x））.

1997年，Schein和Teclezghi[1]刻画了对称逆半群ISn上的自同态.随后在1998年，他们又分别给出了全变换半群Tn和部分变换半群PTn的自同态[2－3].2009年，Ganyushkin和Mazorchuk在他们的著作中讨论自同态时提出了一个公开问题[4]133：描述从S到T的所有同态（单同态，满同态），其中S，T∈｛PTn，Tn，ISn｝.本文刻画了ISn到PTn的所有同态.

1 主要结果

先介绍一些符号和概念.设Sn，n分别是Xn上的置换群和交错群.当n≠4时，Sn的非平凡的正规子群只有n.当n＝4时，S4的非平凡的正规子群除了4外，还有另一个4，称作Klein四元群.变换α的秩rank（α）定义为α象im（α）的基数.设S∈ ｛PTn，ISn｝.S的每个理想都具有以下形式（[4]，Theorem 4.3.1）：Ik＝ ｛α∈S：rank（α）≤k｝，0≤k≤n.S的每个D- 类都具有以下形式（[1]，Theorem 4.5.1）：Dk＝ ｛α∈S：rank（α）＝k｝，0≤k≤n.半群S的自同构都是内自同构（[4]，Theorem 7.1.3）.

设α，β∈S为下面的形式：

其中k∈Xn，集合A1，…，Ak，Ak＋1是两两不交的，μ∈Sk.若S＝ISn，则 A1＝ … ＝ Ak＝1.设ρα＝A1∪ … ∪Ak＋1是Xn的一个划分.定义S上的H-关系（[4]，Theorem 4.5.1）为：αHβ当且仅当im（α）＝im（β）且ρα＝ρβ.

对每个k＝1，2，…，n和Sk的每个正规子群R，S上的同余或者是一致同余，或者具有形式 ≡R，R◁Sk，1≤k≤n（[4]，Theorem 6.3.10）如下：

1）若rank（α）＜k，则α≡Rβ当且仅当rank（β）＜k；

2）若rank（α）＞k，则α≡Rβ当且仅当α＝β；

3）若rank（α）＝k，则α≡Rβ当且仅当αHβ且若α和β由式（1）给出，则μ∈R.

对任意的x∈Xn，ax＝｛（x，x）｝表示S的秩为1的幂等元.定义常量变换0x：Xn→Xn为0x（i）＝x，对任意的i∈Xn.记空变换（定义域为空集的变换）为0.记恒等变换为1n.

主要结论如下：

定理 设n≠4.

（i）设π∈Sn.对任意的α∈ISn，定义Λπ（α）＝παπ－1.则Λπ是ISn到PTn的一个同态.

（ii）选取ψ∈ Aut（Sn）.定义Ωψ：ISn→PTn如下：

则Ωψ是ISn到PTn的一个同态.

（iii）选取π∈Sn，i，j∈Xn.定义Ψπ：ISn→PTn如下：

则Ψπ是ISn到PTn的一个同态.

（iv）选取ε，δ∈PTn使得ε3＝ε且εδ＝δε＝δ2＝δ.定义Θε，δ：ISn→PTn如下：

2 定理证明

为了证明定理，先建立下面的引理.

引理1 设Xn＝｛1，2，…，n｝，并设k是一个正整数且1≤k≤n.则下列叙述成立：

定理的证明 验证即知（i）－（v）成立.

反之，设φ是ISn到PTn的同态.若n＝1，则φ或是恒等同态，满足形式（i）；或φ（IS1）＝ ｛1n｝，或φ（IS1）＝｛0｝，这2种情况φ都是常量同态，满足形式（iv）.下面讨论n＞1的情况.考虑3种情况：φ在Sn上是单的；φ在Sn上是非单的且n≠4；φ在Sn上是非单的且n＝4.

情况1.1 若m ＝0，则φ－1（0）＝ ｛0｝.定义同态φ的核 Ker（φ）为：对任意的α，β∈ISn，（α，β）∈Ker（φ）⇔φ（α）＝φ（β）.由于φ的核Ker（φ）是ISn上的一个同余，因此Ker（φ）＝≡R，R◁Sk，1≤k≤n.又由于｛0｝是Kerφ的一个同余类，因此Kerφ＝≡S1，故φ是单射.对任意不同的i，j∈Xn，有aiaj＝0，进而φ（ai）φ（aj）＝φ（0）＝0.因此

又由于im（φ（ai））⊆dom（φ（ai）），因此im（φ（ai））∩im（φ（aj））＝ Ø.设集合E ＝ ｛im（φ（ai））：i∈Xn｝.

情况2 设φ在Sn上不是单的且n≠4.则同态核Ker（φ）在Sn上的限制不是恒等同余.若Ker（φ）是一致同余，则φ把ISn映射到PTn的某个幂等元δ，因此φ为形式（iv）中的常量同态.

若Ker（φ）＝≡R，其中R为Sn或.若R＝Sn，则Sn和是Ker（φ）两个同余类，因此φ把Sn映到PTn的某个幂等元ε，φ把映到PTn的某个幂等元δ，且满足εδ＝δε＝δ.若R＝n，则同余类分别为n，Sn＼n，.进而φ把这3个同余类分别映到PTn3个不同的幂等元μ，ε，δ且满足ε2＝μ，ε3＝με＝ε.故φ具有形式（iv）.

情况3 φ在Sn上不是单的且n＝4时，讨论同情况2，但还有另一种情况：R还可以是4.这时是Ker（φ）的一个同余类，设它的象是PT4中的幂等元e.在S4中的陪集有6个，分别为：

因此有φ（S4）≅S3.显然e对于群φ（S4）中元素而言是零元，即对任意的g∈φ（S4）有eg＝ge＝e.设im（φ（1n））＝Y.则φ（S4）同构于SY，因此Y 至少包含3个元素.

故定理得证.

推论1 若φ：ISn→PTn是单同态，则φ∈Aut（ISn）.

[1]Schein B M，Teclezghi B.Endomorphisms of finite symmetric inverse semigroups[J].Journal of Algebra，1997，198：300-310.

[2]Schein B M，Teclezghi B.Endomorphisms of finite full transformation semigroups[J].Proceedings of The American Mathematical Society，1998，126（9）：2579-2587.

[3]Schein B M，Teclezghi B.Endomorphisms of symmetric semigroups of functions on a finite set[J].Comm Algebra，1998，26（12）：3921-3938.

[4]Ganyushkin O，Mazorchuk V.Introduction to classical finite transiformation semigroups[M].London：Springer Verlag，2009.

The Homomorphisms from Symmetric Inverse Semigroup to Partial Transformation Semigroup

LIN Shuang，YANG Xiu-liang
（College of Science，Hangzhou Normal University，Hangzhou 310036，China）

Let PTnbe the partial transformation semigroup of the set Xn＝｛1，2，…，n｝，and ISnthe symmetric inverse semigroup of Xn.The paper described all the homomorphisms fromISnto PTn.

homomorphism；kernel；congruence

O152.7 MSC2010：43A22

A

1674-232X（2012）04-0305-05

11.3969／j.issn.1674-232X.2012.04.004

2011-06-27

杨秀良（1963—），男，教授，主要从事半群代数研究.E-mail：yxl＠hznu.edu.cn