关注概念形成，让思想自然流淌

王姣慧

摘 要：通过“认识直棱柱”的概念引入、形成、拓展的教学，可使学生在学习过程中提炼、感悟数学思想方法。在概念引入时培养“合情合理”的数学思想，在概念形成过程中培养“情理交融”的数学思想，在概念拓展应用的过程中培养数学思想和方法。

关键词：认识直棱柱；概念引入；概念形成；概念学习；教学反思；数学思想

中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1009-010X（2012）09-0048-03

一、问题的提出

“认识直棱柱”是义务教育课程标准实验教科书《数学》（浙教版）八年级上册第3章第1节第1课时的内容。它是学生在小学阶段学习了长方体、正方体，初中阶段学习了点、线、面、体、几何图形等基本概念的基础上提出来的，是进一步联系平面图形和空间图形的桥梁。本节课要求学生通过观察生活中常见的几何体，从生活中常见的几何体抽象概括出一类几何体的共同特征，形成多面体、棱柱、直棱柱等相关概念，探索并掌握直棱柱的性质特征。在活动中使学生感受隐含在知识之中的思想方法——特殊到一般和一般到特殊的思想，分类讨论思想，类比思想等。它不但对培养学生观察能力和归纳能力有帮助，而且对培养学生合作意识、表述数学思想和成果的能力也有重要作用，同时也是促进学生形成良好的个性品质、进行量变到质变等辩证唯物主义教育的一个良好素材。为了真正感知隐藏在数学概念教学中的常见数学思想，我们以“认识直棱柱”的教学片段为例，对概念教学中进行数学思想渗透、提炼、强化的探析。

二、教学过程剖析

（一）在概念引入时渗透数学思想

片段一

师：同学们，今天海绵宝宝给各位带来了什么礼物？（大屏幕展示）

生：（兴奋地）魔方、玩具盒、可乐、球、钻石……

师：生活中的实物都可以抽象出对应的几何图形，比如海绵宝宝给我们长方体的印象。你能说出其余物体对应的几何体吗？

生：魔方给我们正方体的印象，可乐给我们圆柱体的印象，篮球给我们球体的印象……

师：在七上的几何图形的教学中，我们已经知道几何体是由点、线、面、体组成的，你能根据你的观察试着将它们分类吗？

生：（窃窃私语讨论）正方体、长方体是有棱有角的，各个平面都是平的，而圆柱、球给我们以曲面的感觉……

点评：几何中的点、线、面、体等基本概念多是从形状及大小、位置关系中抽象出来的，这些概念的形成，往往可以通过依赖生活中常见的丰富原型，通过感知、运用比较、分析、综合、抽象、概括等一系列逻辑方法，抓住对象最主要的本质属性而产生概念，所以引入概念必须渗透“感知、比较、分析、抽象、概括”这些广义的数学思想。奥苏伯尔提出“先行组织者能激活认知结构中已具备的相关知识，使学生认识到他们之间的联系”。由于八年级学生对生活中的立体图形接触较少，空间想象能力较弱，而多面体在生活中普遍存在，通过身边熟悉具体的现实原型引入，引导学生联系概念的原型，观察和分析实物模型，从中获得研发认识，逐步认识它的本质属性，让学生去挖掘多面体的概念的形成，同时在分类思想的立意下，借助七上几何体中面的分类情况（曲面和平面），使学生对构成几何体的面的情况进行分类，对引入多面体的概念，有一种一气呵成的感觉。

（二）在概念形成中提炼数学思想

片段二

师：在小学阶段我们已经学习过长方体，我们知道了长方体的一些基本要素：面、顶点、棱，类同地，我们可得到多面体中的一些基本要素，你能给多面体的一些基本要素命名吗？

生：我们把多面体相邻两个面之间的交线叫做棱，几个面的公共顶点叫做多面体的顶点。

师：（辨一辨，大屏幕展示）下面的几何体是多面体吗？为什么？

之后教师引导学生观察几何图形的大家庭中的典型图形，并且将它们进行分类：引导学生思考，先辨别出圆柱、圆锥、球体等，形成多面体的支架，然后在此基础上抽象出特殊的一类多面体——棱柱，之后形成棱柱的概念。

点评：数学概念的形成是整个概念教学至关重要的一步。课堂教学中重要的不是老师讲了多少，而是学生思考了多少。倘若我们在这一环节强行地将一些新的数学概念灌输给学生，则严重地阻碍学生形成正确的数学观，影响了学生学习能力的发展。小学时已经形成对长方体、正方体的基本认识，在类比数学思想的立意下，学习特殊几何体——多面体时，如何按照正方体的基本要素类比得到多面体的基本要素，如何利用上位知识得到知识结构、学习内容的类比、更为突出的是研究方法的类比。通过类比使学生形成有序的知识链条，建立良好的认知结构；通过类比让学生明确上位知识和下位知识的联系，可从上位的学习中形成研究概念的基本套路，形成对数学思维策略的引导。不仅有助于引导学生感悟数学，更有助于学生创新精神和求异思维的培养。

（三）在关注联系的过程中强化数学思想

片段三

师：有了以上这些基本要素，我们对于直棱柱的认识就方便多了，同学们能借助这些基本要素的特征来认识一下直棱柱吗？（同时结合身边的模型——“班牌”）引导学生从直棱柱的底面、侧面、侧棱三方面进行归纳，并得出直棱柱的性质。

数学思想具有过程性的特点，必须有学生身体力行的实践，从自己亲身实践的探索思考过程中获得体验，从自己不断深入的概括过程中，获得对数学思想的感悟。通过对直棱柱的基本要素的铺垫，使学生对于直棱柱性质的探索，方向明确，分类标准清楚，并且使学生易于表达。

师：在七上的教学中我们已经知道，点、线、面、体形成了丰富多彩的世界，请同学们思考以下问题：

问题串一1.Rt△ABC绕直角边AB旋转一周所形成的几何体是什么？

2.Rt△ABC沿直角边AB方向平移得到的几何体是什么？

3.Rt△ABC绕斜边AC方向平移得到的几何体是什么？

（通过几何画板演示，抽象出几何图形）

问题串二1.长方形ABCD绕边AB旋转一周所形成的几何体是什么？

2.长方形ABCD沿AB方向向上平移得到的几何体是什么？

3.长方形ABCD沿对角线AC方向平移得到的几何体是什么？

（通过几何画板演示，抽象出几何图形）

问题拓展：如果是五边形、六边形，……n边形呢？进一步验证直棱柱的底面、侧面、侧棱三方面的性质。

点评：新《数学课程标准》中说“有效的数学学习过程不能单纯地依赖模仿与记忆，教师应引导学生主动地从事观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动”，所以无论是从特殊到一般的数学知识的归纳形成过程，还是从一般到特殊的数学知识的验证应用过程，教师作为合作者、引导者，都应该提供足够时间和空间，让学生主动去从事各种数学活动，只有这样才能突出学生的主体地位，获得明显的教学效果。为了抓住概念间联系，进一步提升上位知识点的特征——面运动形成体的过程，本片段通过多边形沿铅垂线方向平移形成直棱柱，多边形沿着与铅垂线成某一夹角的方向平移得到斜棱柱。在这个过程中，并没有直接把结果“抛”给学生，而是让学生去探索、交流、归纳，经历从特殊到一般的知识形成过程，从运动的视角将直棱柱、斜棱柱的概念进行辨析，既促进了学生创造性思维的形成，也培养了学生的创新能力。

（四）在反馈练习中体验数学思想

片段四从家中一个直五棱柱的首饰谈起（实物展示）：

1.它是一个什么样的几何体？

它可以看作是一个直四棱柱截去一个直三棱柱吗？

2.你知道怎样计算其底面积吗？

3.它的体积又怎样计算？

4.把直五棱柱看作是怎样的直四棱柱组成的，还可以怎么剪切？

5.你还可以将直五棱柱看作是其余的的直棱柱的组合吗？

点评：由于此范例是如何描述一个物体的形状，把它看成怎样的两个几何体的组合，都需要一定的空间想象能力和表达能力。因而是本节课的难点，要将难点突破，关键是要学会转化，转化的思想应用于数学学习的各个领域，但不管在哪方面，它都是以已知的、简单的、具体的、基本的知识为基础，将未知的化为已知的，复杂的化为简单的，抽象的化为具体的，一般的化为特殊的，非基本的化为基本的，从而找到正确的解决方法。

三、在教学反思中领悟数学思想的升华

（一）以概念引入为契点，培养“合情合理”的数学思想

数学概念是人对客观事物中有关数量关系和空间形式方面本质属性的抽象，对某个数学概念的认识应建立在对一类事物共同属性认识的基础之上。

概念形成一是可借助现实原型引入，即教师引导学生联系概念的原型，从中抽象出几何基本图形，引导学生观察、思考它们的共同特点，使学生在这些典型、丰富且合乎实际的感性材料的基础上，获得对多面体本质属性的初步认识。通过生活中熟悉的素材，设置符合“常情”的教学情境，不仅赋予了“直棱柱”概念的现实背景，也使学生感悟到学习“多面体”概念的必要性，明白了学习的“道理”。

二是可以通过知识发展的需要引入，学习一个新的数学概念，还应该把这个概念放到相应的概念体系中，考察它的“来龙去脉”，即分析学习这一概念需要怎样的基础，知道掌握它以后可以做什么。初一的教学中，学生已经具备了几何图形等概念的研究方法，所以对于多面体概念引入时可采用内涵定义法，即“类差+种概念=被定义的概念”，在多面体的定义中，大前提是“几何图形（种概念）”，条件是“由若干个平面围成（类差）”。“由若干个平面围成”的内涵包含了“几何体”所有的内涵，而“由若干个平面围成”是多面体所独有的、用以区别于一般几何体的本质属性。因此，教学中教师只要抓住种概念（几何体）的类差（由若干个平面围成），引导学生思考“一个几何体具备了什么特征才是多面体”，就可以自然地使学生建立起对新概念（多面体）的本质属性的理解。可见，从数学知识发展的需要出发，对“概念体系”进行分析，可以了解到概念间的从属关系，形成明晰的知识结构，并清晰地认识到学习“多面体”概念的“合理性”。

三是可以用类比的方法引入或区分概念。如“直棱柱、斜棱柱”是特殊的多面体，在学习了“多面体”的概念之后，再附加条件“直观特征”就可以对应得到“直棱柱”、“斜棱柱”的模型。以上几种模型是常见的概念引入方式，而这几种概念引入的方式 往往伴随着常用的思想方法的体验和“合情合理”问题情境的创设。

（二）以概念形成为手段，培养“情理交融”的数学思想

几何概念无外乎从位置关系和数量关系两个角度进行刻画。“直棱柱”性质中的“相邻两条侧棱互相平行且相等”，是从“位置和数量关系”出发，刻画了“边”的本质属性。在研究直棱柱“边”或“角”的数量关系时，我们不妨通过引导学生从实物原型出发，经历观察、猜想、实验、概括直至论证的过程，一方面，突出合情推理在解决问题中的作用，诠释“实验几何”与“论证几何”相辅相成的关系；另一方面，可以使学生对直棱柱的概念理解得更加深入，即“直棱柱相邻两条侧棱互相平行且相等”，相对于直棱柱的直观感知，是由位置关系向数量关系的一种延伸，“直棱柱相邻两条侧棱相等”，相对于“直棱柱相邻两条侧棱互相平行”，是由“位置关系到数量关系”产生思维的一种深化。

具体操作可以考虑以下方面：①通过学会观察、归纳，通过观察发现共性的东西；②注意理解所学概念的来龙去脉，这个概念讨论的对象是什么？有何背景？有哪些限制条件、哪些特殊规定？学习这个概念有什么意义？除老师及教材所下的定义外，试试能否用自己的语言来表述；③注意有没有其他等价的说法，为什么等价？应用时应如何处理这个等价转换？相应的符号能否记牢，符号的读法、表示法会不会；④概念的名称、进行表述时的术语有什么特点？根据概念中的条件和规定，可以归纳出哪些基本的性质？这些性质又分别由概念中的哪些因素（或条件）所决定？它们在应用中起什么作用？能否派生出一些数学思想方法？⑤回忆过去学过的概念中，有没有相近、相似，容易混淆的地方？它们与过去学过的概念有什么联系？注意它们之间的区别，应当如何强调这些区别；⑥根据所理解的定义，举出实际的例子。

（三）以概念学习为形，培养数学思想和方法为魂

数学思想和方法是数学科学发展长河中无数数学家的智慧结晶，它是度量一个人数学素养高低的重要指标，数学思想方法，既诞生于问题解决的过程中，又应用于解决问题的过程中，是指导问题解决的重要策略，因此，作为数学问题解决的策略，数学思想方法常常出现在问题解决的始点或初始阶段。对于数学思想要具体问题具体分析，要从学生解决问题过程中的思维起点加以分析，从中了解指导思维活动的具体思想方法，以此确定思想方法究竟在什么时候发生了，并对问题解决产生影响。数学概念是诸量关系的反映，诸量关系联系的形态是什么样的？怎么样找出揭示诸量之间联系的途径？要解决这些问题，一般都需要学习者的心理能力中有着厚重的数学思想和方法。因此以概念学习为载体，设计数学思想和方法的教学是概念教学中的一个基本立足点。

参考文献：

[1]全日制义务教育数学课程标准（实验稿）[M].北京：北京师范大学出版社，2001.

[2]义务教育课程标准实验教科书《数学》（八年级）（上）[M].杭州：浙江教育出版社，2006，5.