让法则成为学生的发现

田坤山

摘 要：有理数乘法教学的本质是：写出反映现实情景问题的具有逻辑意义的算式；对具有逻辑意义的算式进行归纳概括。详细的教学步骤应为：创设一个生动、有趣的情景；从情景中提出问题；写出反映问题的有逻辑意义的算式；对算式进行归纳概括；让法则成为学生的发现。

关键词：有理数乘法；教学设计；逻辑意义；算式；归纳活动；学生的发现

中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1009-010X（2012）09-0045-03

在一次培训会上，许多教师向专家提出如何进行“负负得正”的教学，专家要求大家首先要研究教科书。

我们考察多种版本的教科书，不同的教科书有不同的设计，但研究发现它们有共同的规律，都是首先使有理数乘法算式具备逻辑意义。

一、各版本教科书对有理数乘法的设计

（一）人教版教科书以“如图，一只蜗牛沿直线l爬行，它现在的位置恰在l上的点O。”

一句简短的语言交待了问题的情景。在这个情景中，有学生熟悉的时间、速度和距离及其数量关系（时间×速度=距离）。交待了一个时间轴，一个距离轴，并且把两个轴的原点重叠在了一起。正因为有了“现在”，所以相对“现在”才有了“现在”之前和“现在”之后，有了用正数和负数表示的时间。正因为有了蜗牛“恰在l上的点O”，在点O 左右的距离，才具有了相反的意义，有了用正数和负数表示的距离。“沿直线l爬行，”自然会有向左爬行或向右爬行，为了区分开向不同方向的爬行，学生自然会想到用正数和负数表达。

面对此情景，教科书提出了四个问题：

⑴如果蜗牛一直以每分钟2cm的速度向右爬行，3分钟后它在什么位置？

⑵如果蜗牛一直以每分钟2cm的速度向左爬行，3分钟后它在什么位置？

⑶如果蜗牛一直以每分钟2cm的速度向右爬行，3分钟前在什么位置？

⑷如果蜗牛一直以每分钟2cm的速度向左爬行，3分钟前在什么位置？

教科书进行了规定：向左为负，向右为正，“现在”前为负，“现在”后为正。

对以上四个问题，分别用下面四个算式表达：

⑴3分后蜗牛在l上点O右边6cm处，这可以表示为（+2）×（+3）=6.

⑵3分后蜗牛在l上点O左边6cm处，这可以表示为（-2）×（+3）=-6.

⑶3分前蜗牛在l上点O左边6cm处，这可以表示为（+2）×（-3）=-6.

⑷3分前蜗牛在l上点O右边6cm处，这可以表示为（-2）×（-3）=6.

先有事实，后有表示事实的算式。四个算式是对四个事件数量关系的真实表达，于是，这四个算式就都具有了逻辑意义。

写出了有逻辑意义的算式后，设计对算式的归纳活动。归纳活动紧紧抓住符号变化情况；紧紧抓住乘积的绝对值与各乘数绝对值之间的关系。

于是，有理数乘法法则才能作为学生的发现概括出来：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同零相乘，仍得零。

（二）河北版教科书也是从交待情景开始

“测量某校实验楼的楼梯得知，每一级台阶的高度都是15厘米”。之后展开规定：

1.大厅高度为0，——规定原点；

2.从大厅上楼为正，从大厅下地下室为负——规定方向；

由上面的活动，帮助学生建立了带有实际意义的数轴。明确了原点、方向和单位。

然后，从情景中提出问题：

小亮从一楼大厅向楼上走1、2、3、4级楼梯时，分别用算式表示小亮所在的高度。

大华从一楼大厅向地下室走1、2、3、4级楼梯时，分别用算式表示大华所在的高度。

针对问题，让学生用算式表达各个高度。

小亮所在的各个高度是：

15×1=15，15×2=30，15×3=45，15×4=60.

大华所在的各个高度是：

（-15）×1=-15， （-15）×2=-30，

（-15）×3=-45， （-15）×4=-60.

上面的算式，学生用学过的有理数加法容易获得理解，15+15+15+15=15×4=60，（-15）+（-15）+（-15）+（-15）=（-15）×4=-60。与人教社的设计相同，先有事实，后有表示事实的算式。八个算式是对八个事件数量关系的真实写照，于是，这八个算式就都具有了逻辑意义。

写出了有逻辑意义的算式后，设计对算式的归纳活动。与人教社所不同的是有理数乘法法则分两步完成。

第一步，通过对两组八个算式的比较，归纳概括出：两个有理数相乘，把一个因数换成它的相反数，所得的积是原来的积的相反数。

第二步，演绎上面的概括，对演绎的结果再次归纳概括，从而获得有理数乘法法则。

（三）北师大版教科书创设了甲乙两个水库水位的变化两个水库，甲水库每天升高3厘米，乙水库每天下降3厘米。

规定：升高为正，下降为负。

情景中回避了用负数对时间的刻画。

从情景中提出如下问题：

4天后甲乙两个水库水位的变化量如何，用算式表示。

让学生写出反映问题的有逻辑意义的算式。

甲水库4天后水库的水位变化量用算式表示为：

3+3+3+3=3×4=12。

乙水库4天后水库的水位变化量用算式表示为：

（-3）+（-3）+（-3）+（-3）=（-3）×4=-12。

先有事实，后有表示事实的算式。两个算式是对两个事件数量关系的真实写照，于是，这两个算式就都具有了逻辑意义。

写出了有逻辑意义算式后，设计对算式的归纳活动。与前两个版本的教科书不同，因为开始只写出了两个算式，不足以归纳出有理数乘法法则。教科书由算式（-3）×4=-12，以探究规律的形式演化出一串变化着的算式。

（-3）×4=-12 （-3）×3=-9 （-3）×2=-6

（-3）×1=-3（-3）×0=0 （-3）×（-1）=+3

（-3）×（-2）=+6 （-3）×（-3）=+9 （-3）×（-4）=+12

这一串变化的算式脱开了“水位变化”的情景，设计者要求学生此时只关注算式的变化规律，对算式的变化规律进行归纳概括。对这串变化的算式，学生在观察中会发现：第二个因数每次减小1，而它们的积总是在增加3。如果愿意，按照规律，算式可以继续写下去。对足够多的算式进行概括，进而得到有理数的乘法法则。

从对三个不同版本教科书的分析研究，发现有理数乘法教学中的共同的本质是： （1）从现实的情景中写出反映问题的具有逻辑意义的算式； （2）对具有逻辑意义的算式进行归纳概括。

不同的是，如果从现实的情景中写算式，多花费一些气力，在归纳环节上就可节省一些气力。相反，如果从现实的情景中写算式，节省一些气力，那么在归纳的环节上就只能多花费一些气力。

把握了其中的规律，我们就可以自如的对有理数乘法教学展开设计了。为了便于教学设计，从上面概括出的两个关键环节，可以进一步演化出更细致的教学步骤：

⑴创设一个生动、有趣的情景；

⑵从情景中提出问题；

⑶写出反映问题的有逻辑意义的算式；

⑷对算式进行归纳概括，让法则成为学生的发现。

二、探究有理数乘法教学的新设计

（一）从练习正负数开始，夯实同化新知识的背景知识

⒈如果把现在的时间当作分界点，那么，“现在”前与“现在”后就是相反意义的量。规定“现在”前为负，“现在”后为正。

请同学们完成以下任务：画数轴，并在数轴上表示现在的时间、“现在”前3分钟与“现在”后3分钟。

⒉如果把一只蜗牛现在的位置当作分界点，蜗牛左右的里程就是相反意义的量。规定：向左为负，向右为正。

请同学们完成以下任务：画数轴，并在数轴上表示蜗牛现在的位置、蜗牛左边6cm与蜗牛右边6cm的位置。

3.如果选定上面的图2，蜗牛的爬行速度是2cm/分钟，那么当蜗牛的爬行的方向与数轴的方向一致或相反时，如何用有理数表达蜗牛的爬行速度。

答案应当是：与数轴的方向一致时表示为+2，与数轴的方向相反时表示为-2。

（二）创设情景，提出问题

1.如果蜗牛一直以每分钟2cm的速度向右爬行，3分钟后它在什么位置？

2.如果蜗牛一直以每分钟2cm的速度向左爬行，3分钟后它在什么位置？

3.如果蜗牛一直以每分钟2cm的速度向右爬行，3分钟前在什么位置？

4.如果蜗牛一直以每分钟2cm的速度向左爬行，3分钟前在什么位置？

（三）写出反映问题的具有逻辑意义的算式

我们选用前面的图1和图2，辅以说明。

对于问题1，“3分钟后，”可以用 +3表示；“以每分钟2cm的速度向右爬行”，其中的速度表示为+2。数量关系表示为（+2）×（+3），因为3分钟后，它在O点的右侧，且距离O点6cm处。所以有等式：（-2）×（+3）=6；

对于问题2，“3分钟后，”可以用 +3表示；“以每分钟2cm的速度向左爬行”，其中的速度表示为-2。数量关系表示为（-2）×（+3），因为3分钟后，它在O点的左侧，且距离O点6cm处。所以有等式：（-2）×（+3）=-6；

同理可写出其它二式：

（+2）×（-3）=-6； （-2）×（-3）=6.

（四）对算式进行归纳概括，让法则成为学生的发现把算式的符号与乘积的绝对值分开研究。

先研究符号的确定，算式2、3是异号相乘，积的符号为负，所以概括为：异号得负；算式1、4，是同号相乘，积的符号为正；所以概括为：同号得正。

再研究乘积的绝对值，观察4个算式，得到：乘积的绝对值等于各乘数绝对值的乘积。

最后得结论：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同零相乘，仍得零。

这样设计教学，实现了让学生经历知识的发生过程，使学生关注对新知识的理解，实现了把学习新知识的过程作为学生的一次再创造与发现的过程，克服只让学生被动的接受“负负得正”的数学结论，把发展学生的教学目标落到实处。