一类具常数放养的非线性密度制约和功能反应的捕-食系统的定性分析

冯光庭

(湖北第二师范学院数学与数量经济学院，湖北 武汉 430205)

0 引言

(1)

其中a，b，c，d，μ，H>0，0<α<1，H为食饵种群的放养率.根据问题的生物学意义，只在D=x，yx>0，y>0内研究.

1 系统(1)的性质及其生物学意义

先证明几个引理.

引理1.1系统(1)有唯一边界平衡点M1x1，0，并且

(Ⅰ)当0

h′(x)=a-bxα+(-bxα-1)x=a-bxα-bαxα=a-bxα(1+α)，

则当00;当x>x*时，h′x<0.

故hx=0有唯一正实根x1，即系统(1)有唯一边界平衡点M1x1，0，且0

又系统(1)在点M1处所对应的线性近似系统的矩阵的特征值为

所以，当0

(Ⅱ)当引理1.1中的条件成立时，食饵种群将持久生存并保持一定的稳定状态，但捕食者种群将灭绝.

引理1.2当y0>0时，系统(1)有唯一正平衡点M0x0，y0， 并且

(Ⅰ)当p0>0时，M0是不稳定的焦点或结点；

(Ⅱ)当p0<0时，M0是稳定的焦点或结点；

(Ⅲ)当p0=0时，M0是一阶稳定的细焦点.

引理1.2的证明当y0>0，系统(1)有唯一正平衡点M0x0，y0.

因系统(1)在M0处对应的线性近似系统的矩阵的特征值为

所以，当p0>0时，M0是不稳定的焦点或结点,即证(I)；当p0<0时，M0是稳定的焦点或结点,即证(II).

当p0=0时，作变换x=ξ+x0，y=y0eη，并令dτ=-cy0ξ+x0αdt，仍用t表示时间变量，则有-x0<ξ<+∞，-∞<η<+∞，且系统(1)可化为

(2)

并且

(iii)φ0=0，η·φη=ηeη-1>0η≠0，φ′η=eη，φ′0=1>0.

即系统(2)满足文献[4]中定理的条件.

再由系统(1)与系统(2)中时间变量的关系知，M0是一阶稳定的细焦点,即证(III).

引理1.3当p0≤0时，系统(1)在D=x，yx>0，y>0内没有极限环.

从而有px0=p0，且当00;当x>x0时，p′x<0;

故对x>0，有px≤px0，即当p0≤0时，对任意x>0，y>0有

因此系统(1)在D=x，yx>0，y>0内没有极限环.

引理1.4当p0>0时，系统(1)在D=x，yx>0，y>0内至少有一个极限环.

引理1.4的证明构造Bendixson环域Ω：外境界线为x轴的正半轴，射线L1:x=x1y>0，L2:x=0y>0，线段L3:μ·x+y-k=00≤x≤x1，k待定；内境界线为正平衡点M0x0，y0.

又x轴正半轴为轨线，且当p0>0时，M0是不稳定的焦点或结点.故由Bendixson环域定理知，结论成立.

定理1.1当y0>0时，系统(1)的唯一正平衡点M0x0，y0在D内全局渐进稳定的充分必要条件是p0≤0

(3)

此即表明，当定理中的条件成立时，食饵和捕食者种群将处于一种持久共存的稳定状态.

定理1.1的证明充分性:若(3)式成立.由y0>0知，系统(1)只有唯一的边界平衡点M1和唯一的正平衡点M0；而由引理1.1知，M1为鞍点；由引理1.2知，M0为局部稳定的焦点或结点；又由引理1.3知，系统(1)在D=x，yx>0，y>0内没有极限环.

故M0在D=x，yx>0，y>0内全局渐进稳定.

必要性：若M0在D内全局渐进稳定，则D局部稳定，所以由引理1.2得p0≤0.

定理1.2系统(1)存在唯一稳定的极限环的充分必要条件是p0>0.

此即表明，当定理中的条件成立时，食饵和捕食者种群将处于一种持久震荡共存的状态.

定理1.2的证明充分性:若p0>0.由引理1.4知，存在性成立；下面只证明唯一性.

对于系统(2)，由前面的讨论知，φ0=0，ηφη=ηeη-1>0η≠0,

故由文献[5]中的唯一性定理知，系统(3)在-x0<ξ<+∞，-∞<η<+∞内围绕原点至多只有一个极限环，从而系统(1)在D内至多只有一个极限环.

必要性:若系统(1)在D内有唯一稳定极限环.则由引理1.3知，必有p0>0.

[1] 颜向平，张存华.一类具功能反应的食饵-捕食者两种群模型的定性分析[J].生物数学学报，2004，19(3)：323-327.

[2] 王政.具有非线性饱和功能反应的捕食者-食饵系统的定性分析[J].生物数学学报，2007，22(2)：215-218.

[3] 程雷虎，李自珍，苏敏.具有非线性功能反应函数的捕食者-食饵系统稳定性分析[J].兰州大学学报：自然科学版，2009，45(1)：95-98.

[5] 张芷芬，丁同仁，黄文灶，等.微分方程定性理论[M].北京：科学出版社，2006.

[6] 陈兰荪，孟建柱，焦建军.生物动力学[M].北京：科学出版社，2009.