新授课中进行数学思想方法教学的基本策略

● (仙居县教研室 浙江仙居 317300)

新授课中进行数学思想方法教学的基本策略

●吴增生(仙居县教研室 浙江仙居 317300)

在新授课中进行合理有效的思想方法教学，是高效率课堂的基本要求，也是实现数学教育促进学生终身发展的有效策略.因此，研究如何合理有效地在新授课中进行数学思想方法教学，促进过程性、发展性课程目标的达成，具有重要的现实意义.

1 忽视与说教——新授课中数学思想方法教学的两大弊端

在教学实践中，存在着2种极端的现象：一是只注重知识内容的教学而忽视在知识形成过程中数学思想方法的教学；二是用说教的方法把数学思想方法“告知”学生，缺乏深刻的体验，只记住了名称.

例如，在人教版实验教材七年级下册第5.1节“相交线”的教学中，有教师直接先画出一个60°的角让学生测量.有的学生说用量角器直接测量(基于一题多解)，有的学生采用反向延长角的一边的方法测量邻补角(如图1)，于是教师引入邻补角的概念，接着教师与学生一起再反向延长另一条边，得到对顶角的概念，然后研究对顶角的性质(如图2).

图1

图2

这位教师认为，本课的教学重点是邻补角、对顶角的概念及其性质，因此直接从研究角的位置关系和数量关系出发，更能突出重点.

这是典型的忽视数学思想方法教学的课例.教材的安排是：从研究2条直线的位置关系出发，用剪刀作为相交线的典型模型，引导学生用角度刻画2条相交直线的相对位置.由于2条直线相交，出现了4个小于平角的角，那么，用哪一个角来刻画相交线的位置关系呢，这就需要研究形成的4个角的关系，由此自然合理地提出问题，得到邻补角互补和对顶角相等这2个结论后，只要已知4个角中的任一个角，则其余3个角的大小就唯一确定，因此可以用其中的任一个角来刻画2条相交直线的相对位置关系.在本内容的教学中，有2种数学思想方法是必须让学生体会的：一是化线为角的思想，这种思想不仅贯穿于本章(如垂线、平行线的研究)，而且在高中立体几何中会进一步深化到化面为线、化线为角的思想；二是用观察测量的方法发现结论，提出猜想，用推理的方法说明猜想成立并进行论证.虽然本课学习的重点是邻补角和对顶角的概念及其性质，但在知识形成过程中上述2种数学思想方法对学生今后的数学学习是非常重要的，忽视了这2种数学思想方法的教学，课程发展性目标的达成就要打折扣，数学教育促进学生的终身发展、使学生变得更理性聪明这一核心教育价值就难以实现.

在人教版实验教材八年级下册第19章第1.1节“平行四边形性质(一)”的教学中，有教师为了突出数学思想方法的教学，开展了如下的教学活动：

(1)复习三角形的相关知识及研究方法.如三角形的概念及分类、全等三角形的判定和性质、等腰(等边)三角形的性质和判定.通过复习，引导学生总结出“下定义——研性质——探判定”的几何图形研究基本程序.到这里，用了8分钟时间.

(2)让学生观察生活中的四边形，找到平行四边形，回顾平行四边形的概念，给出各类特殊的平行四边形(矩形、菱形、正方形)，让学生提出研究平行四边形的基本程序，提出问题：研究平行四边形的边、角性质.

(3)引导学生通过测量提出猜想“平行四边形对角相等、对边相等”，引导学生用全等三角形的相关知识证明猜想.

(4)运用性质解决问题(教材例1)，并进行巩固性练习.

(5)课堂小结.总结平行四边形的性质、用全等三角形知识证明线段和角相等的方法、研究平行四边形的基本步骤：下定义——研性质——探判定.

这一课例是典型的说教型数学思想方法教学.教师先用大量时间复习三角形及全等三角形的性质，在上课开始的8分多钟时间撇开了本课的教学主题而过度复习三角形相关知识，会使教学偏离学习的主题.失去了目标导向，会造成选择性注意的偏向及转换障碍，也会降低学生对核心研究对象——平行四边形的专注程度，从而导致学习效率的下降.如果教师希望学生能从复习中把研究三角形的方法迁移到研究平行四边形的过程中，那么只要一个基本图形特征研究的样例就可以了，而且重点是要关注研究的步骤和方法，而非具体的性质或判定等相关知识.另外，平行四边形性质证明思路的分析中，没有让学生自主思考怎样证明对边相等，体验为什么要连接对角线，这样核心研究活动的数学思想方法学生没有得到充分体验，导致学生记住了平行四边形的研究步骤，但难以自然合理地提出问题、把平行四边形问题转化为三角形问题，学生只记住了“数学转化思想”的名称.

2 新授课中的数学思想方法教学应重在渗透和感悟

(1)数学思想方法学习的基本特点.数学思想方法是融合在数学活动过程中的，是附着在具体学习内容上的.离开数学知识及其形成过程谈数学思想方法，就会变得空洞和抽象，学生就难以真正理解和习得.数学思想是在数学活动中体现出来的思考问题的观念和方式，数学方法是数学思想的具体体现形式.数学思想方法是一种程序性知识，这种经验的获得与陈述性知识的学习有不同的心理规律，就像学习游泳一样，光说教不实践是学不会的.数学思想方法的学习需要经过体验、明朗化和自觉运用这3个基本阶段.在体验阶段，通过模仿和在自然合理地思考过程中的自发运用，获得运用数学思想方法思考和解决问题的过程体验，在这个阶段，会初步试着做，但说不清这样做的道理.例如，在方程思想的初学阶段，学生会模仿例题寻找等量关系，列出简单的方程解决具体简单的实际问题，但往往说不清楚怎样找到等量关系和列出方程，也说不出方程建模的思想实质，这就是方程思想学习的第一阶段——体验阶段.通过不断地实践和体验，学生积累了充分的列方程解决问题的学习经验，在此基础上，学生逐步明白建立方程模型的基本方法，理解方程建模的基本思想是通过设未知数、列方程把实际问题转化为解方程问题，通过解方程并解释解的实际意义来间接地获得实际问题的解，学生会用自己的语言清晰地说出方程思想的基本内涵，这就是数学思想方法学习的第二阶段——明朗化阶段.进一步，通过适当的方程建模训练，使方程思想转换为个人思考问题的习惯，在解决问题的过程中能自觉地运用方程思想从若干等量关系中间接地获得特定的量，并建立起函数、方程、不等式等相关知识的联系，会把方程建模的思想方法迁移到函数和不等式的建模活动中,这就是数学思想方法的第三阶段——自觉运用阶段.

在新授课中重点经历数学思想方法的体验过程和初步感悟过程，感悟是初步的明朗化，要求学生通过总结自己的数学活动过程，得出具体数学思想方法的操作步骤和操作要点，并初步理解具体思想方法的产生背景及使用范围；在基础复习中重点经历初步的明朗化过程，积累适当的数学思想方法应用的直接经验；在专题复习中重点经历明朗化和专项应用训练过程；在解题指导中重点经历数学思想方法的综合自如运用和相互联系过程.当然，在不同的学习阶段，数学思想方法学习到什么程度，要视学生的学情而定，对不同的学生有不同的要求：学业水平高的学生，可以学习到较高的程度，让学生在体验的基础上去感悟，进行初步的明朗化和应用；学业有困难的学生则应该降低数学思想方法的学习程度，以初步感受体验为主.

(2)数学思想方法是在解决问题过程中形成的连接起点和目标的路径选择方法，它首先需要目标导向，没有目标，就谈不上连接起点和目标的路径规划.例如，在“平行四边形性质”的学习中，起点是“平行四边形”，目标是“平行四边形的性质”，连接起点和目标有2条路径：一条是观察测量实验途径，另一条是推理论证途径.为了研究平行四边形性质，首先需要对起点和目标状态用数量关系和空间形式进行适当的表示：如把平行四边形用边的位置关系表示成“两组对边分别平行的四边形”，把平行四边形性质具体化为“平行四边形对边的数量关系和角的数量关系”.在此基础上采用观察测量实验途径规划测量的对象和方法：如测量边的长度和角的大小，并形成猜想：平行四边形对边相等、对角相等.进一步，规划推理论证路径：证明猜想.利用全等三角形的性质，构造全等三角形并证明对边相等和对角相等；也可以分别规划边和角的证明路径，采用平行线的性质证明角的关系.在这一过程中，所有的思想方法都是建立在“起点—目标”分析的基础上，不论是寻找证明思路的“顺推法”、“逆推法”、“两头凑法”，还是连接对角线、把四边形问题转化为三角形问题的转化方法，都是以建立起点与目标的逻辑联系为核心，根据图形结构特点开展的路径规划.如果离开起点、目标分析，便没有了目标导向，那么这些数学思想方法就成为“无源之水，无根之木”.

在平行四边形性质的研究中，首先应该通过创设适当的情境，引导学生把注意力聚焦到平行四边形这类特殊的四边形上，引导学生思考：对于这类图形应该研究什么，怎样研究？在学生保持这些主题目标的前提下，引导学生回顾先前是怎样研究图形性质的，比如，可以以等腰三角形或平行线为例，从中获得研究图形的基本步骤：下定义——研性质——探判定，并应用这些步骤提出平行四边形的研究步骤，再把学习的主题任务限定在平行四边形性质的研究上.接着，引导学生思考：平行四边形可能有什么性质？平行四边形的构成要素是边和角，相关要素是对角线，先研究边和角的性质.要研究图形性质，首先要画出图形，分析图形的结构特点，通过平行线联系平行四边形的内角得到对角相等的结论.其次可以引导学生通过观察和测量，从中发现平行四边形的对边相等，在学生提出这一猜想后，引导学生用推理的方法证明猜想，而在分析证明思路时，应该以规划证明思路为重点，引导学生用“逆推法”寻找证明的思路.在完成证明后，让学生对证明过程及图形特征的分析方法进行评价和总结，从而体验图形研究的基本步骤：下定义——研性质——探判定；图形结构分析的基本方法——从当前图形中分离出熟悉的图形，再重新组合发现图形的特征；寻找证明思路的基本方法——顺推法、逆推法和两头凑法；证明过程的转化思想，通过连接对角线，把四边形问题转化为三角形问题.在平行四边形性质的探究和证明过程中，要始终保持学习的起点和目标，并根据需要对目标和任务进行不断的转换，最终形成解决问题的思路，并通过反思和总结固化重要的数学思想方法——通过构造全等三角形，化陌生为熟悉；通过起点、目标分析，规划解决问题的思路.

(3)新授课中的数学思想方法学习的基础是渗透，关键是感悟.在新授课教学中，显性的学习对象是具体的知识内容，基础知识和基本技能的学习是重要和显性的学习任务，因此教学设计中应该以知识技能的学习为显性的学习线索.数学思想方法的学习融合在具体知识形成和应用的活动过程中，因此数学思想方法的教学应该是在知识形成和应用过程中渗透而非告知，让学生充分地经历数学知识的形成、应用和发展过程，让学生在不知不觉中使用具体的思想方法进行自然合理的数学思考，感受具体数学思想方法的应用价值和使用方法.在知识形成或解决问题后，让学生再回顾自己的思考和操作过程，体会思考过程，通过交流，形成对具体数学思想方法的初步理解，这就是感悟过程.通过感悟，可以固化重要的数学思想方法的应用步骤和思考观念，为进一步明朗化打下坚实的基础.例如，相交线教学中“化线为角”的思想和“推理论证”的思想是2个重要的数学思想方法.在教学过程中，先给出生活中不同的直线位置关系的现实情境，让学生感受研究2条直线位置关系的必要性，然后通过让学生在同一张纸上任意画2条直线，引导学生思考：延长后会怎样，有哪些情况？从而得到平面上2条直线的2种位置关系：相交或平行，并指出本节课着重学习相交线.接着，以剪刀为相交线动态模型，让学生观察直线相交的特点：有一个公共点(交点)，开口有大有小，开口大小决定了2条直线的位置关系.进一步提出问题：怎样描述开口的大小？很自然地可以想到用角的大小来表示.接着让学生观察：2条直线相交，构成了几个小于平角的角(4个)，如果用角的大小表示2条直线相交的开口大小，用哪一个角？于是，就需要研究这4个角之间的关系.再接下来，引导学生通过对这4个角的位置关系的观察，引出邻补角和对顶角关系，并进一步研究其大小关系，利用“等角的补角相等”推导对顶角的性质，并进一步得到：2条直线相交成的4个角中只要1个角大小确定，则其余3个角的大小也唯一确定，因此，可以用其中的任何一个角来刻画2条直线的相对位置.在完成性质探究、说理和应用后，引导学生回顾学习的进程，体会怎样从线想到角、怎样想到要研究邻补角和对顶角、怎样发现邻补角与对顶角之间的关系、怎样用推理的方法推导出对顶角性质并让人信服.尽管学生可能说得不太清楚，但只要有认识，就是成功，这就是对“化线为角”和“推理论证”思想的感悟.

[1] 克莱因.古进数学思想[M].张理京，张锦炎，江泽涵,译.上海：上海科学技术出版社，2002.

[2] 吴增生.3B教育理念下的数学核心概念教学策略[J].中国数学教育：高中版，2011(1)：4-8.

[3] 吴增生.3B教育理念下的高效率数学原理教学[J].中国数学教育：初中版，2011(7)：3-9.

[4] 吴增生.让几何探究活动更好地促进学生的认知发展——初中几何探究活动的教学策略初探[J].中国数学教育：初中版,2011(12):3-8.