对2011年重庆数学高考文科第15题的深入研究

● (松江区第二中学 上海 201600)

对2011年重庆数学高考文科第15题的深入研究

●卫福山(松江区第二中学 上海 201600)

2011年重庆市数学高考文科第15题如下：

原题若实数a,b,c满足2a+2b=2a+b,2a+2b+2c=2a+b+c,则c的最大值是________.

文献[1]利用换元法并结合均值不等式加以解答，给出了较为简单的导数法以及判别式法.本文给出了该题的其他解法，并作一定的变式研究.

1 考题的另解

解利用均值不等式

由2a+2b=2a+b及均值不等式，知

即

2a+b≥4(2a+b≤0显然不能成立).

由2a+2b+2c=2a+b+c，得

2a+b+2c=2a+b·2c，

即

解得

从而

cmax=2-log23.

2 变式研究

文献[1]换元后得出该题的等价问题：

问题1已知正数x,y,z满足x+y=xy,x+y+z=xyz，求z的最大值.

实际上,在另解的基础上,可以利用不等式的性质解决，具体如下：

解由x+y=xy及均值不等式，得

即

xy≥4.

于是由x+y+z=xyz，得

由xy≥4,得

xy-1≥3

从而

即

因此

此外，考题中的3个正实数a,b,c，能否推广呢？笔者推广到了4个及更多的正实数,得到如下问题：

问题2已知正数a,b,c,d满足a+b=ab，a+b+c=abc,a+b+c+d=abcd,求d的最大值.

问题3已知正数a1,a2，…,an满足a1+a2=a1a2,a1+a2+a3=a1a2a3,…，a1+a2+…+an=a1a2…an,求an的最大值.

…

猜想

下面用数学归纳法对以上结论加以证明.

当n=3时，问题3即为“已知正数a1,a2,a3满足a1+a2=a1a2,a1+a2+a3=a1a2a3，求a3的最大值.”类似于问题1的做法，由

a1+a2=a1a2，

得

即

a1a2≥4.

由a1+a2+a3=a1a2a3，得

即

而此时当n=3时，

即结论成立.

假设当n=k(k≥3)时结论成立，即

为证当n=k+1时结论成立，首先需要做3个铺垫性的工作：

(1)数列{an}的每一项均大于1.

由已知条件得

转化为

即

得

从而

(3)数列{an}从第2项起是递减数列.

这是因为当n≥2时，结合递推公式有

从而

又数列{an}的每一项均大于1，故an+1

结合以上(1)～(3)，得

由归纳假设知

于是

即证

亦即证

即证

上式显然成立,从而说明以上的归纳对n=k+1也成立.

3 几个有趣的结论

从以上推广研究中，可以发现满足条件的数列还有几个有趣性质：

已知正数a1,a2,…,an满足a1+a2=a1a2,a1+a2+a3=a1a2a3,…,a1+a2+…+an=a1a2…an,则

(1)数列{an}的每一项均大于1；

(3)数列{an}从第2项起是递减数列；

[1] 安振平,韩小平.2011年重庆高考数学文科第15题解法探讨[J]，数学通讯:上半月,2011(9)：8-9.

[2] 卫福山.对一个优美不等式的证明及联想[J].中国数学教育:高中版，2012(5)：44-46.