由一堂平面向量课所引发的思考

● (诸暨中学 浙江诸暨 311800)

由一堂平面向量课所引发的思考

●俞建锋(诸暨中学 浙江诸暨 311800)

教学活动具有复杂性和多变性，因此精心的预设是上好一节课的基础．认真钻研教材，全面了解学生，有效开发资源是预设的重点．但在实施课堂教学的过程中，教师如何处理“预设”与“生成”的关系，直接关系到学生的学习效果.本文结合笔者的一个教学案例,对如何处理“预设”与“生成”的关系谈几点看法．

1 一道例题的2种教学生成

以下是笔者的一次课堂教学经历：同一道例题，教师具体讲授于甲、乙2个不同班级(平行班).虽然是基于同一预设的一道习题的教学，其教学过程却“意外”地显著不同.

甲班的教学片段：

师：证明正三角形的方法有哪些？

生(齐声)：3条边相等或3个角相等.

师：用向量如何刻画呢？

生A：利用|a|=|b|=|c|即可.

生B：或许可以利用∠A=∠B=∠C,因为a·b=|a|·|b|cosθ(θ为a,b的夹角)中也有角.

师：好！下面我们来试试.

(学生说,笔者板书.)

图1

证法1如图1，可得

a+b+c=0.

又因为

a·b=b·c,

所以

a·b-b·c=b·(a-c)=0,

即 (-a-c)·(a-c)=0,

亦即

(a+c)·(a-c)=0,

从而

a2-c2=0,

即

|a|2=|c|2,

亦即

|a|=|c|.

同理可得

|b|=|c|,|a|=|b|,

从而

|a|=|b|=|c|,

因此△ABC是正三角形.

笔者小结:解决本题的关键是利用a+b+c=0得到b=-a-c,又由a·b=b·c得到b·(a-c)=0,综合得到结论.

至此,仅用7分钟时间便完成了该例题的讲授,笔者认为目的已经达到,教学继续进行,按预先的教案讲解例2～例5,按部就班直至下课.

乙班的教学片段:

和甲班类似,当笔者提问完“用向量如何刻画呢？”，学生这样回答：

生A：构造直角三角形，利用斜边上中线的性质.

生B：利用|a|=|b|=|c|.

师：请生A、生B在黑板上板演,其他学生在下面思考.

生A板演：

证法2因为a+b+c=0,

所以

a·a=(b+c)·(b+c),

从而 |a|2=|b|2+|c|2+2b·c,

(1)

同理可得

|b|2=|a|2+|c|2+2a·c,

(2)

式(1)-式(2)得

|a|2-|b|2|=|b|2-|a|2+2(b·c-a·c).

又因为

a·b=b·c=a·c,

所以

|a|2-|b|2=|b|2-|a|2,

即

|a|2=|b|2,

亦即

|a|=|b|.

同理可得

|b|=|c|,|a|=|c|，

从而

|a|=|b|=|c|,

因此△ABC是正三角形.

生B板演：

证法3因为a·b=b·c=a·c,

所以

a·b-b·c=b·(a-c)=0,

从而

b⊥(a-c).

图2

又因为|AC|=|AD|,所以AB是DC边上的中线,因此

|AB|=|AC|=|AD|,

即

|a|=|c|.

同理可得

a⊥(b-c),

进而

|b|=|c|,

从而

|a|=|b|=|c|,

因此△ABC是正三角形.

笔者讲评：学生A抓住了|a|2=|b|2+|c|2+2b·c,该式好似解题的一个“中转站”,起到了纽带的作用(学生欣喜).学生B构造直角三角形,并利用斜边上的中线这一想法，恰倒好处.

至此,本例的教学似乎应该结束,而且课堂用时超过21分钟(较甲班多了14分钟).笔者不经意地发问”有不同解法吗?”这一问又激起了学生思维的浪花.

生C:我利用几何法做的,利用菱形对角线垂直的性质.

笔者放弃原先准备的教案，让学生继续交流.

师:请学生C到黑板上展示自己的过程,其他学生自己思考.

(此时教室内一篇寂静,大家已不满足于一种解法.)

学生C的板演:

图3

所以四边形ABCD为菱形,从而

|AB|=|AC|,

即

|a|=|c|.

同理可得|a|=|b|,|b|=|c|,

从而

|a|=|b|=|c|,

因此△ABC是正三角形.

师：学生C的解法可以说是另辟蹊径,妙不可言.还有不同的方法吗?

笔者话音刚落,学生E便回答自己是利用a+b+c=0得到b=-a-c,又由a·b=b·c,得到b·(a-c)=0,综合得到结论.(这可是教师完成“教案剧”千呼万唤的方法！)

学生E已显得迫不及待：

证法5由于a+b+c=0，所以

a·b=(b+c)·(a+c)=

a·b+a·c+c·b+c·c2,

从而

c2=-(a·c+b·c),

同理可得

a2=-(a·b+a·c)，b2=-(b·a+b·c).

因为

a·b=b·c=a·c,

所以

|a|2=|b|2=|c|2,

即

|a|=|b|=|c|.

师：巧妙地利用了a+b+c=0，不易想到，也不失为一种好思路.

下课铃声响了,还有学生在不断地思考……

新课堂是活动的课堂，讨论、合作、交流的课堂，它呼唤着学生的积极参与，因此，教师要善于把握时机，创设问题情景，激发学生潜能，要善于将“球”踢给学生，引导学生去质疑、发现和探索.教师要相信青年学子的潜能是不可估量的，要改变教师的角色.教师要悄然“换岗”，变传授者为引导者、组织者、合作者；学生要自然“上岗”，变被动听为主动探求.只有充分地体现出学生的主体性、主动性，教师的主导作用才能得到充分发挥．

2 对教学预设与课堂生成的思考

同一个例题的教学过程相差如此之大,着实发人深思,这是一场“教案剧”.教师是“强迫”学生按照课前的预设学习，还是增强“随意性”，尽量按照学生的认知情况生成？该如何处理“预设”与“生成”的关系呢?

(1)教学预设要给学生留有足够的自由思考的空间.

探究学习具有自主性、过程性、实践性、开放性等基本特征[1]，因而探究教学更加重视学生的主体地位，教学的重心不是教师的教，而应当是学生的学.在课堂情境下，学生通过讨论、质疑、交流、反思、探究等认知和实践活动，会产生很多非预设的问题，探究的方向、方式、过程等也会与教师的预设大相径庭．这就需要教师灵活处理预设与生成的关系，充分关注学生课堂生成的特点，给学生的探究保留足够的自由空间，顺势而为，动态调整，使教学预设随着课堂进程不断改变和重建，保证个体知识的自主建构和逐步完善．本文所述的案例中，在甲班，教师“及时地”中断了学生的不同想法，强硬地执行了课前的预设，牵着学生向前走，貌似很节省时间，也完成了所谓的“任务”，但是和乙班的情况相比，思维的积极性、思考问题的灵活性、解决问题的能力诸方面都是无法比拟的．可见，在教学预设时，要给学生的自主思考留有足够的空间，否则，学生的主体地位无法真正体现.

(2)课堂生成与课前预设的不一致正是激发学生创新思维的起点.

“生成”对应于“预设”.尽管在课前的设计，教师对学生可能出现的一些情况做了设想，然而面对的学生是千变万化的，他们的真实水平往往无法准确估计，更多时候与预设有差异甚至截然不同.当教学不再按预设展开，这就需要教师冷静思考，巧妙捕捉其中的亮点资源，并灵活地调整教学方法，机智生成新的教学方案.笔者在甲班的教学实施过程中，对学生回答的不同想法没有重视，而是尽可能将学生的思路拉回到教师预设的轨道上来，生硬地执行了课前预设的思路．但乙班的情况表明，当学生的思考与教学设计不一致时，就是激发学生创新思维的好时机．

苏霍姆林斯基曾描述这样的课堂：“有些教师能够做到使他的每一位学生在课堂上都取得进步.……在这里,充满着……师生间相互体谅的气氛,有一种智力受到鼓舞的精神,每一位学生都在尽量靠自己的努力去达到目的.你从儿童的眼光里就能看那种紧张地、专心致志地思考的神色:一会儿发出快乐的闪光(正确答案找到了!)一会儿又在深沉地思索(从哪里入手来解决这道应用题呢?)教师在这样的气氛里工作是一种很大的享受.”[2]这也是教师心目中所希望出现的数学课堂情形!通过2节课的对比，不难看出，乙班学生的“好想法”层出不穷，而这种情形正是教师恰当处理预设与生成的关系、及时抓住激发学生创新思维的好时机，使得教学过程向着理想课堂的方向发展.

(3)预设是为了生成，而生成是动态的.

教学目标的综合性决定了师生活动的多样性和教学环境的复杂性.教师必须把开发学生潜能作为教学最重要的任务,必须意识到学习是不可重复的,是激情与智慧的综合生成过程.因此,教师应根据课堂教学的“预设”,给学生腾出空间,让学生在共同探究中享受“生成”.前文所述的案例中，笔者在甲班教学时，生硬地将教学生成变成了课前预设的固定结论，而在乙班的生成过程是动态的、不断调整的，2个班学生的收益有着明显的差异.

教师在备课进行教学预设时,就应当多角度考虑问题的各种可能性,这样教师在面对学生的不同想法时，能更迅速地形成教学设想，从而保证在实施过程中根据教学的进程,不断调整自己的教学行为.当然，学生的想法教师课前未必想到，因此，教师充分采纳学生的想法，实际的课堂生成就未必是教师提前预设的情境.换言之，教学生就变成了一个动态的过程，这样新课改数学教育所期待的“走向未知”的“后现代教育观”与“对话课堂观”的动人景象就一定会出现!

[1] 贝尔.中学数学教育学[M].许振声，译.北京：教育科学出版社，1988：125.

[2] 苏霍姆林斯基.给教师的建议[M].杜殿坤,译.北京:教育科学出版社,1984：76.