不畏浮云遮望眼 深思熟虑子自知——2012年浙江省数学高考解题追踪调查研究

● (温岭中学 浙江温岭 317500)

不畏浮云遮望眼深思熟虑子自知——2012年浙江省数学高考解题追踪调查研究

●孙海琴(温岭中学 浙江温岭 317500)

近几年的浙江省数学高考试题既重视基础知识与基本技能的考查，又力避学生熟悉的“解题套路”，深化了学科素养与思维的考查.现以2012年浙江省数学高考理科第17题为例，加以剖析和说明.

题目设a∈R，若x>0时均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0成立，则a=________.

笔者随机抽样调查了本校高三部分学生(40人)的解题情况.这是学生熟悉的“恒成立”命题，但成功解题的人却不多.其中22人选用“构造函数”方法解题失败，11人选用“变量分离”方法解题失败，11人转化为不等式解集关系仅有2人成功解题，转化为图像位置关系解题的有8人成功，利用特殊值解题的有5人成功.个别学生甚至尝试2～3种方法都解题失败，收集学生解答过程发现：面对困难，若能勇敢尝试，大胆突破，其实“条条大路通罗马”.

思路1构造函数

学生解答：因为[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0,所以

(a-1)x3-(a2-a+1)x2+x+1≥0.

设f(x)=(a-1)x3-(a2-a+1)x2+x+1，则

f′(x)=3(a-1)x2-2(a2-a+1)x+1.

出现困难：不等式

f′(x)=3(a-1)x2-2(a2-a+1)x+1≥0

的解集无法求.

突破困难：正确理解解不等式f′(x)≥0的意义，道是“不解”胜“详解”.

解法1当a=1时，显然不合题意.记

Δ=4(a2-a+1)2-12(a-1),

图1

图2

图3

图4

图5

再次突破：代数技巧“设而不求”能巧妙地避实就虚，实现“化繁为简”的目的.

解法2以数解形

若a-1≤0，则当x→+∞时，f(x)→-∞，因此a-1>0.因为x2-ax-1=0有2个相异实根，所以f(x)=0至少有2个实根.

(1)当Δ≤0时，f(x)在R上单调递增，f(x)只有1个根，故舍去.

(2)当Δ>0时，设f′(x)=0的2个根为x1,x2，且x10.

表1 f (x)与f ′(x)的取值情况

思路2解不等式组

学生解答：因为[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0等价于

当a-1>0时，

首次突破：巧用符号在分类讨论中可达到“事半功倍”之效.

解法3记方程x2-ax-1=0的2个根为x1,x2，且x10，

当a-1≤0时，显然不合题意.

当a-1>0时，

由题意可得

从而

即

故

（二）教师应引导学生观察家庭生活。家庭同样是孩子的学校，同时也是孩子最放松、最熟悉的地带。家庭教育与学校教育关系密切。教师应当鼓励家长积极主动参与学生的校外学习，同时鼓励学生在家中观察家庭成员、记录家庭事件，从而积累丰富的写作素材。比如，教师引导学生记录家事，引导学生记录下家里发生的难忘的事情、开心的事情、难过的事情等等。这样一来，家庭琐事、家庭成员的活动等等也将成为孩子写作素材的一大来源，记录家庭事件可以充分激发学生的积极性，激励孩子写出真实而不套路的文字。

再次突破：高次不等式转化为不等式组有“化简为繁”之嫌，零点分区间讨论是解决高次不等式的有效手段.

解法4当a-1>0时，原不等式等价于

图6

图7

图8

思路3参变量分离转化成求最值问题

学生解答：因为[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0等价于

所以

从而

故

首次突破：只有正确理解“或”才能避免此类“失误”.

解法5结合y=x2-ax-1的图像(如图9所示)可以发现：

图9

图10

解法6由y=(a-1)x-1的图像(如图10所示)可以发现(其中a-1≤0不合题意)：

再次突破：优化解法5和解法6.

思路4考察2个函数图像的位置关系

解法7学生解答

在同一坐标系作出y=x2-ax-1及y=(a-1)x-1的图像，显然2个函数都过定点(0,-1).记方程x2-ax-1=0的2个根为x1,x2，且x10.

图11

图12

图13

图14

解法8以数解形

三次突破：变量分离的实质是变更主元.

思路5变更主元

解法9以a为主元,由原不等式可得

[ax-(x+1)][ax-(x2-1)]≤0，

因此

又a是一个确定的值，由两边夹原理可得

从而

x=2,

故

解法10将ax看成主元,由原不等式可得

[ax-(x+1)][ax-(x2-1)]≤0，

图15

思路6特殊值法

解法11学生解答

当x=1时，0≤a≤2;

本题作为填空题的最后一题，具有一定的难度和区分度，思维的切入点较多，思维空间较大，为不同水平的学生提供了不同的发挥空间.本题由学生熟悉的习题改编而成，考生虽有似曾相识的感觉，但往往被“浮云遮望眼”，此时需要信心，需要通过观察、联想、分析、转化来达到“深思熟虑”,突破困难，进而达到“子自知”的境界.此题对加强数学思维论、方法论教学，避免陷入盲目、机械的解题训练起到了很好的导向作用.