数学竞赛中的几何最值问题

● (镇海蛟川书院 浙江宁波 315201)

数学竞赛中的几何最值问题

●刘清泉(镇海蛟川书院 浙江宁波 315201)

几何中的最值问题广泛存在于初中数学竞赛中，这类问题具有很强的探索性，需要运用动态思维以及数形结合等思想方法.几何最值问题常用的解决策略有2类：一是利用几何中不等量的性质(如“两点之间线段最短”、“垂线段最短”等)求解，求解时运用平移、轴对称和旋转等几何变换；二是借助代数方法，建立方程、函数模型求最值．

1 利用几何中不等量的性质

1.1 直接利用不等量的性质

例1在△ABC中，∠A=120°，BC=6，若△ABC的内切圆的半径为r，则r的最大值为

( )

(2011年天津市初中数学竞赛试题)

图1

解如图1，设⊙I分别切△ABC的3条边于点D,E,F，联结IA,ID,IE,IF，并作AM⊥BC．易得

得

由AM≤AI+ID，得

评注作为一道选择题，寻找极端情形容易确定取得最值的情形，其求解过程实际上是利用了“垂线段最短”这一不等量的性质．

1.2 利用“平移变换”

例2点P在锐角△ABC的边上运动，试确定点P的位置，使PA+PB+PC最小，并证明你的结论．

解点P在锐角△ABC最短边上的高的垂足位置时，PA+PB+PC最小．

证明如下：

如图2，P为△ABC一边BC边上的高的垂足，而Q为BC边上不同于点P的任意一点.因为

PA+PB+PC=PA+BC，QA+QB+QC=QA+BC，

且PA

PA+PB+PC

图2

图3

如图3，设AC为△ABC最短边，作BP′⊥AC，可知BP′>AP.在BP′上截取QP′=AP，在BC上截取B′C=AC，作B′Q′⊥AC，垂足为Q′，联结QB′．易证Rt△APC≌Rt△B′Q′C，得AP=B′Q′=QP′， 从而易证四边形B′QP′Q′是矩形，故∠B′QB=90°.

在△BQB′中，BB′>BQ. 因为

P′A+P′B+P′C=BQ+AP+AC，

PA+PB+PC=BB′+AC+AP,

所以

P′A+P′B+P′C

评注本题通过构造矩形使线段“平移”传递，更一般地，通过构造平行四边形，借助对边平行且相等使线段平移．

1.3 利用“轴对称变换”

( )

(2008年北京市初二数学竞赛试题)

解该问题等价于直角坐标系中，在x轴上找到一点C，在直线y=x上找到一点D，使折线段BCDA最短．作点A关于直线y=x的对称点A′(-2,-1)，作点B关于x轴的对称点B′(4,1)，得到直线A′B′：

评注本题首先借助轴对称变换,将“两定点间的折线段最短”问题转化为“两点之间线段最短”的问题，而后结合一次函数的相关知识求解．

1.4 利用“旋转变换”

例4如图4，矩形ABCD是一个长1 000 m,宽600 m的货场，A,D是入口．现拟在货场内建一个收费站P，在铁路线BC段上建一个发货站H.设铺设公路AP,DP以及PH之长度和为l.

(1)求l的最小值；

(2)请指出当l取最小值时，收费站P和发货站台H的几何位置．

(2011年北京市初二数学竞赛试题)

图4

图5

解(1)如图5，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转60°到矩形AB′C′D′的位置，则矩形内的点P和边BC上的点H随之分别旋转到点P′,H′，即有

AP=AP′=PP′，P′H′=PH,

从而

l=PD+PA+PH=DP+PP′+P′H′

(即定点D到定直线B′C′上一点H′之间的距离)，其最小值为点D到直线B′C′的距离DM．经计算可得

(2)当铺设公路总长取得最小值时，点H′与点M重合，点D,P,P′,H′共线，∠APD=120°.因为∠DAD′=60°，所以∠ADM=30°,故∠DAP=30°．此时，收费站P的位置在以AD为底边、两底角为30°的等腰三角形的顶点处，发货站台H的位置在边BC的中点．

评注利用旋转变换将“丫”字型线段组转化为定点与定直线上一点间的折线段，利用“垂线段最短”确定取得最值的情形，借助三角形的相关知识求出这个最值．

1.5 利用多种变换

例5如图6，河岸l同侧的2个居民小区A,B到河岸的距离分别为am,bm，A′B′=cm．现欲在河岸边建一个长度为sm的绿化带CD(宽度不计)，使C到小区A的距离与D到小区B的距离之和最小．在图7中画出绿化带的位置，并写出画图过程．

图6

图7

(第21届江苏省初中数学竞赛试题)

图8

解如图8，作线段AP∥l，使AP=s，且点P在点A的右侧．取点P关于l的对称点P′，联结BP′交l于点D，在l上点D的左侧截取DC=s，则CD即为所求绿化带的位置．

下证此时AC+BD最小.设绿化带建于另一位置C′D′，联结BD′,PD′,AC′,P′D′．由对称性知

P′D=PD，P′D′=PD′.

由APCD及APC′D′，知

AC=PD，AC′=PD′,

但

P′D′+D′B≥P′B=P′D+BD，

即

PD′+D′B≥PD+DB,

亦即

AC+BD≤AC′+BD′，

当且仅当点D′在线段P′B与l的交点时等号成立．

评注本题在“CD长度不变”的前提下，首先借助平移变换转化为常见的“折线段最短”问题，而后借助轴对称变换使问题得以解决．

2 建立方程、函数模型

2.1 寻找极端情形，利用方程求解

例6如图9，正方形ABCD的边长为1，点E，F，G分别在边AD，AB，DC上(可与顶点重合).若△EFG是等边三角形，求△EFG面积的最大值和最小值．

(2010年武汉市初中数学竞赛试题)

图9

解如图9，作EK⊥FG，则K是FG的中点，联结AK，BK．由∠EKG=∠EBG=∠EKF=∠EAF=90°，得点E,K,G,B和点E,K,F,A分别共圆，故

∠KBE=∠EGK=60°，

∠EAK=∠EFK=60°，

则△ABK为正三角形，即点M为定点.

当FG∥AD时，△EFG的面积最小，此时

FG=AD=1，

当点F与点B或点G与点C重合时，△EFG的面积最大，此时

△CBF≌△CDE.

设BF=DE=x，则

AE=AF=1-x.

在△AEF中，由AE2+AF2=EF2得

(1-x)2+(1-x)2=x2+1,

解得

因为

x<1,

所以

此时

2.2 建立一元二次方程模型，利用“根的判别式”求最值

例7已知△XYZ是直角边长为l的等腰直角三角形(∠Z=90°)，它的3个顶点分别在等腰Rt△ABC(∠C=90°)的3条边上．求△ABC直角边长的最大可能值．

(2002年上海市初中数学竞赛试题)

图10

图11

解如图10，若顶点Z在斜边AB上，取XY的中点M，联结CM,ZM,CZ，并作AB边上的高CN，则

CN≤CZ≤CM+MZ=

故

如图11，若顶点Z在直角边CA(或CB上)，由对称性，不妨设点Z在CA上，设CX=x，CZ=y，并过点Y作YH⊥CA于点H．易证△ZYH≌△XZC，得

HZ=CX=x，HY=CZ=y.

显然△AHY为等腰直角三角形，得AH=y.设AC=b≥0，则2y+x=b，即x=b-2y.在△XZC中，由勾股定理,得

y2+(b-2y)2=12,

即

5y2-4by+b2-1=0.

评注本题需要分点Z在△XYZ的斜边上和直角边上2种情况讨论，借助几何方法(不等量的性质)和代数方法(建立方程模型)求解．

2.3 建立二次函数模型求最值

例8(1)如图12，在正方形ABCD内，已知2个动圆⊙O1与⊙O2互相外切，且⊙O1与边AB,AD相切，⊙O2与边BC,CD相切．若正方形的边长为1，⊙O1与⊙O2的半径分别为r1，r2．

①求r1与r2的关系式；

②求⊙O1与⊙O2面积之和的最小值．

(2)如图13，若将(1)中的正方形ABCD改为一个宽为1、长为1.5的矩形，其他条件不变，则⊙O1与⊙O2的面积和是否存在最小值.若不存在，请说明理由；若存在，请求出这个最小值．

(2010年天津市初中数学竞赛试题)

图12

图13

故⊙O1与⊙O2面积之和

(2)在Rt△OO1O2中，易得

(r1+r2)2=(1-r1-r2)2+(1.5-r1-r2)2，

整理得

当且仅当r1=r2，即⊙O1与⊙O2是等圆时，S的最小值为

2.4 建立分式函数模型求最值

例9如图14，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=x，点F在边AB上，点G,H在边BC上，四边形EFGH是一个边长为y的正方形，且AE=AC．

(1)求y关于x的函数解式；

(2)当x为何值时，y取到最大值,并求出y的最大值．

(2007年新知杯上海市初中数学竞赛试题)

图14

解(1)延长FE交AC于点D，得

由DF∥BC，得

Rt△ADF∽Rt△ACB，

于是

得

两边平方并整理得

(x2+2x+2)y2-(x3+2x2+4x)y+2x2=0,

即

(y-x)[(x2+2x+2)y-2x]=0，

得

(2)由第(1)小题，得

2.5 建立根式函数模型求最值

(2001年上海市初中数学竞赛试题)

图15

解作RH⊥AP，QK⊥PB.设RH=x，则

由Rt△PRH∽Rt△QPK，得

从而

于是

故

由

评注在勾股定理、相似三角形等相关等量关系的基础上建立变量x，y的函数关系，得到含有根式的函数并进一步求其最值．

2.6 建立多元函数模型求最值

图16

例11如图16，边长为2的正△ABC内有一点P，它到3条边的距离分别为PD，PE，PF．求：

(1)PD+PE+PF的值；

(2)PD2+PE2+PF2的最小值；

(3)△DEF面积的最大值．

(2006年日本东京巢鸭高中招生试题)

得

(2)记PD=x，PE=y，PF=z，则

从而PD2+PE2+PF2=x2+y2+z2=

(3)过点E作EK⊥DP，交DP的延长线于点K，则

从而

同理

故

因为xy+yz+zx=

评注题目中涉及3个量PD,PE,PF，在第(1)小题的基础上引用2个作为变量来刻画第(2)小题中的PD2+PE2+PF2和第(3)小题中的△DEF的面积，建立多元函数模型，利用“主元法配方”确定最值．