一杯陈年佳酿 令人回味悠长——对一个三角最值问题的深入探究

● (柯桥中学 浙江绍兴 312030)

一杯陈年佳酿令人回味悠长——对一个三角最值问题的深入探究

●樊宏标(柯桥中学 浙江绍兴 312030)

人教版《数学》选修4-5作业本第71页的第17题如下：

此题有一定的难度，学生不易求解.从作业的反馈情况来看，大致有2类典型的错误．

错解1由基本不等式,得

错解2由柯西不等式,得

1 错因剖析

错解2运用柯西不等式进行求解，同样忽视了等号成立的条件．若等号成立，则必有

由此可知，忽视等号成立的条件是学生利用不等式求最值最容易犯的错误．因此，在利用不等式求最值时，教师要提醒学生注意“等号成立的条件”，养成“即时验证”的良好习惯．

2 解法探究

解法1利用柯西不等式

由柯西不等式，得

再由柯西不等式，得

由于sin2x+cos2x=1，因此，对原题加以拓展，可转化为：

m2+n2=(x2+y2)(m2+n2)≥(mx+ny)2，

当且仅当

故

解法2待定系数法

设m,n为正的常数.由柯西不等式，得

(1)

(m2+n2)(sin2x+cos2x)≥(msinx+ncosx)2.

(2)

由式(1)和式(2),得

而式(3)中等号成立的条件是式(1)和式(2)中的等号同时成立，即

亦即

代入式(3),整理得

在日常的教学中，教师往往会到此为止，认为思路已经打通，源头已经找到，方法已经点明，解题过程也就自然完成了．但笔者认为数学解题的基本程式包括简单模仿、变式练习、自发领悟、自觉分析[1]，因此，笔者引导学生继续分析题目的结构特征，看还有没有其他更好的解法．不料这一问，激起了学生极大的兴趣，很快就有学生提出新的想法，共同探究，得到如下2种解法．

解法3运用基本不等式

考虑到

当且仅当

即

解法4利用导数

令f′(x)=0,即

因为

所以

又因为

sin2x+cos2x=1，

此时

f(x)的单调性分析如表1所示.

表1 f(x)的单调区间

3 拓展延伸

课后，笔者又进行了深入研究，对于上述问题，利用赫尔德(Hölder)不等式可作进一步拓展，结论如下：

(1)当t∈(0,2)时，y取得最大值；

(2)当t∈(-∞,0)∪(2,+∞)时，y取得最小值．

asintx+bcostx,

从而

sin2x+cos2x=1,

从而

同理可证，当t∈(-∞,0)时，

点评本文一开始的作业习题显然是上述定理取t=-1的特殊情况，该题若用Hölder不等式证明，则更简单．

4 几点思考

(1)在新课程理念下，笔者认为教师的解题教学不是“讲习题”，而是“用习题”.教师的作用就在于挖掘习题的内涵，使之更为丰满、生动，更具联系性．

(2)教学中应把“探索作为数学教学的生命线”(布鲁纳)．通过创设恰当的问题情境，促进学生在活动中感悟并获得数学知识与思想方法．在知识的发生、发展与运用的过程中，培养学生的思维能力、创新意识和应用意识．

(3)促进课堂互动，创建宽松、和谐的学习环境．教学中，要充分发挥教师的主导作用，以问题为中心，以探索为生命线，注重优化学生的思维品质．数学解题教学绝对不能就题论题，就答案而讲答案，而更应关注为什么这样解，以充分暴露解题的思维过程，并不断地引导学生对典型例题作解题后的反思.让他们通过已知学未知，通过分析已经解决的习题去领悟解题思想，通过解题思想去驾驭并活化知识与方法，增强分析能力，提高领悟水平，优化思维品质，从而真正提高学生分析问题和解决问题的能力．

(4)注重问题的引申与拓展．从一道题出发，进行多角度、多方位的思考，并纵横联想、拓展延伸.这样处理一道题，便可以收到多方面的教学效益，既巩固了大量的基础知识，又拓宽了学生的思维空间．真是“典型习题剖析透，一石三鸟硕果收；纵横驰骋留不住，海天宽阔任遨游”！

[1] 樊宏标．从一个案例谈数学解题的基本程式[J]．高中数学教与学，2010(7)：5.