由一道“变态”高考题的几组解法引起的教学反思

●

(安丰中学 江苏东台 224221)

由一道“变态”高考题的几组解法引起的教学反思

●崔志荣

(安丰中学 江苏东台 224221)

1 一道“变态”的高考题

图1

(1)求椭圆的方程.

(2)设点A,B是椭圆上位于x轴上方的点，且AF1∥BF2，点P为AF2与BF1的交点.

②求证：PF1+PF2是定值.

(2012年江苏省数学高考试题)

笔者对这道高考题的解法作了一些研究，得到了一些有关解析几何复习的教学体会，和读者交流.

2 几组解法的评析

第Ⅰ组 ①解设直线AF1的方程为

x=my-1，

联立

消去x整理得

(m2+2)y2-2my-1=0，

解得

同理

因此

解得

m2=2,

②证明由AF1∥BF2，知

△PAF1∽△PF2B，

从而

即

同理

因此

由第①小题知

故

点评第①小题通过联立直线与椭圆的方程，求出点A,B的纵坐标，再用两点间的距离公式求长度，也可以设直线的点斜式方程，求点A,B的横坐标(可由AF1>BF2，利用xA>-1，xB>1来舍根).这种方法是容易想到的，但很多学生未付诸于行动，担心难于运算，这也与平时教学有关，很多教师不重视这种方法.第②小题充分利用了转化思想，抓住相似三角形，把PF1+PF2转化为AF1与BF2表示，在第①小题的基础上才能完成.

y=k(x+1)，

联立

消去y整理得

(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0,

从而

(因AF1∥BF2且AF1>BF2，易知x2<-1

解得

即

设P(x,y)，则

式(1)-式(2)得

解得

代入式(2)，得

化简得

因此点P的轨迹为椭圆，焦点正好为F1与F2，故

点评第①小题巧用对称性，只需要考虑直线AF1与椭圆联立来研究点A与点B′的横坐标关系，使运算量大大减少.第②小题的解答与第①小题没有必然的关联，如何思考使用轨迹的方法呢？结论要证明PF1+PF2为定值，而F1,F2为定点，那么动点P的轨迹应是椭圆，故设点P(x,y)，再利用相似把它转移到点A,B的坐标后代入椭圆方程，最后消去参数λ，求出点P的轨迹方程.

第Ⅲ组 ①解设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则

由焦半径公式,得

从而

因为AF1∥BF2，所以

从而

即

化简得

2x1x2+3(x2-x1)-4=0.

解得

从而

即

②证明设△APF1与△F2PB的相似比为λ，则

若x1=-1,则x2=1,λ=1,结论成立.若x1>1，则x2>1(若x1<1，则x2<1)，因为

(k为直线AF1的斜率),所以

3 几点教学反思

解析几何作为一种重要的数学思想方法，一直都是高考的重点和热点之一，这部分内容也格外受到教师和学生的重视.但一个不容否认的事实是：教师感到这部分内容的教学效果不如人意，学生似懂非懂，解题出错率非常高.结合以上3组解答，笔者对解析几何的教学提几点建议：

(1)重基本思路，重基础运算

比较第①小题的3种方法可以发现，第Ⅰ组为基本方法，学生容易理解，教学中不可轻视这种基本思路的讲解，但它的运算量偏大，学生不敢动笔，说明基础运算是教学中的一个大问题.在平时教学中，教师若走捷径，走技巧运算，则会造成学生眼高手低，基础不牢，使学生在考场上总想容易的方法，容易导致失败.据此，笔者认为在解析几何教学中，要重视基本方法的剖析，淡化技巧方法的讲解，淡化特技运算，重视基础运算.

(2)代数方法为主，几何方法为辅

解析几何的本质是用代数的方法解决几何问题，解题结构为：几何问题→代数问题→代数研究→几何结果，几何法不应是解析几何的教学重点.

从3组解法中可以看出，第Ⅱ组的第①小题用到了几何对称性，第②小题由于AF1∥BF2都用到了三角形相似的知识，但这些几何知识在解答过程不起主导作用，也是基础知识，是必要的辅助.有些经验丰富的教师，了解不少解析几何题的几何背景，课堂上能把问题一步剖析到最简洁的几何方法，但实际上是效果不大，原因是很少有学生了解高考题的背景，还是要脚踏实地用好代数方法.

(3)重分析，重比较

在解析几何中，很多题是有多种方法的，它们的思路不相同，实际计算效果也不一样.因此，教学中要做到2点：一是重思路的分析,如本文中的第②小题，第Ⅰ组解答建立在第①小题的基础上，将PF1+PF2转化为AF1和BF2,第Ⅱ组则是由结论分析到轨迹思路,第Ⅲ组是借助焦半径后运用转化，都是合理的分析;二是重视方法的比较是必要的，如第①小题的3种方法，第Ⅱ组方法灵活，运算简便,第Ⅰ、Ⅲ组是基本方法，运算量都大.只有通过比较，才能使不同层次的学生有他们自己的选择，才能使他们更准确的认识问题的本质，才能使他们在解题时游刃有余.

(4)重过程的步骤，重针对性的训练