基础而有思维 现实而有差异 稳定而有创新——2012年浙江省数学高考试题评价与复习方法思考

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(杭州市第十四中学 浙江杭州 310006)

基础而有思维现实而有差异稳定而有创新
——2012年浙江省数学高考试题评价与复习方法思考

●马茂年

(杭州市第十四中学 浙江杭州 310006)

2012年浙江省数学高考试卷符合《考试大纲》和《考试说明(浙江版)》的要求，立足于数学教材，回归数学本源，重视数学基础知识和基本技能，突出数学能力的考查，较好地测试了考生的数学素养和进入高校学习的潜能，有利于高校选拔新生，有利于中学素质教育，有利于向新课改(第二轮)高考过渡．与2011年相比，数学试题处在持平或更容易的水平，起点低、角度宽、视点高.在考查基础知识的同时，注重对数学思想、数学方法和数学能力的考查,延续了往年分步设问、分散难点的做法，体现了分散压轴、多题把关的命题特点．

1 考查全面，注重基础，在稳定中前行

把基础知识、基本技能、基本思想作为考查的首要内容，这一命题原则在2012年的数学高考试卷中体现得淋漓尽致．试题设计立足于教材，背景熟、入口宽、方法多．如理科卷中第1～6，11～14，18～20题以及第21题的第(Ⅰ)小题等，文科卷中第1～8，11～14，18～20题以及第21题的第(Ⅰ)小题、第22题的第(Ⅰ)小题等．试卷设计符合数学学科特点，考核内容覆盖了中学数学教材中的主干知识模块，重点突出．整份试卷立足教材，重视基础，突出重点，引领高中数学教学．

1．1 题量稳定，题型不变

试卷仍然采用近几年来的一贯风格，设计为主观试题78分、客观试题72分的题型和分值结构.其中选择题10道、填空题7道，共计78分，解答题5道，共计72分，保持了题量、题型和分值的绝对稳定．

1.2 重点突出，内容全面

试卷以基础知识，基本方法为命题出发点，全面覆盖了数学的基本内容，重点内容常考常新．试卷中的选择题和填空题主要围绕“双基”设计，侧重考查基本技能，而在解答题中重点考查了三角函数、概率期望(数列知识)、立体几何、解析几何以及函数导数等核心内容．

1.3 注重通法，淡化技巧

试题从简洁中体现常规，突出考查通性通法，淡化技巧．如文科的第3～5，7～9，11～16，18～19题和理科的第3～4，6，8，11～13，15～16，18～19，21题，试题较好地体现了以知识为载体，以方法为依托，以能力为考查目的的命题指向．

1.4 多题把关，科学定量

试题继续保持“多角度、多层次”的考查方式，延续往年的“分步设问、分散难点”的方法，体现了多题把关的命题特点，选择题、填空题、解答题都有把关题．同时各类题型起点难度较低，由浅入深，阶梯递进，10道选择题中有3个难度的层次递进(第1～7，8～9，10题)，在填空题和解答题中也有类似体现．整卷注意研究试题信息的配置，创设多种解题途径，考查考生从不同角度运用不同的方法，有效区分不同的思维水平，做到科学定量．例如文科的第9，16～17题和理科的第9～10，16～17题等．

2 创新适度，经典频现，在前行中不变

理科第9题的设问新颖，理科第10题的动中求静，文科第17题(理科第16题)的新定义问题，文科第21题和理科第22题中含参数的函数问题都给人以耳目一新之感，但又没有造成学生“面对新题望而生畏”的尴尬现象.在区分、考查学生未来发展所需的能力上，这些试题为高考试题的命制提供了很好的范例，是试卷中的经典之作．解决这些试题需要学生具备较强的观察能力、推理论证能力，很好地体现了能力立意的高考试题特点．

2.1 考查主干知识不变

通过分析近3年解答题考查的主干知识和交汇知识可知(见表1)，2012年的试题主干知识更加明确，与主干知识交汇的知识越来越少；五大题的考查直接落实在解三角形、概率(数列)、立体几何、解析几何、导函数这五大知识点上，突出了主干知识的主体地位．

表1 近3年解答题考查的主干知识和交汇知识

(1)不变的主干知识：从表1中可知，近3年考查的主干知识保持了相对的稳定，均为解三角形、立体几何(二面角)、概率期望、圆锥曲线(抛物线)、函数性质(导函数)．

(2)变化的主干知识：主干知识近3年内也出现了适当的微调，如在2011年考查的数列，在2010年和2012年都是以概率期望代之．

(3)突出的主干知识：2012年的主干知识与其他知识交汇的相对较少，从而使考查的主干知识更加突出、主干地位更加明确，有利于考生集中精力、集中思想解决主要问题．

2．2 强调数学思想不变

通过对近3年的数学试题的分析(见表2)，选择、填空题的最后2道题从原来的数学抽象思维的考查转变为更注重于数学思想的考查，着力体现命题者对数学思想的关注和重视.

表2 近3年选择、填空题最后2道题的分析

(1)重点小题考查知识点多：对于选择、填空题的最后2道题的处理是决胜高考的关键，成败的重要性不言而喻，近3年来的考查涉及到的知识点每年基本不一样，有平面向量、立体几何，也有圆锥曲线、排列组合，基本上突现了小题考查“调头快”的功能．

(2)重点小题考查思想方法灵活：这4个题因考查的知识点多，没有相对稳定的知识点，因此考生可采用的方法也是灵活多样，涉及到的数学思想非常丰富，使得试题的区分度和效度就相对较高，有利于高校选拔考生．

2.3 注重思维能力不变

近3年的数学压轴最后2道题(见表3)，解题的方法更加侧重于考生的思维能力，更能体现考生的综合实力，更有利于选拔优秀考生．

表3 近3年压轴题分析

(1)压轴大题考查知识点趋向稳定：近3年来试卷的压轴大题考查知识点趋向稳定，基本上稳定在导函数和圆锥曲线之中，这样的稳定有利于考生集中精力理解和掌握重点知识、重点思想方法．

(2)压轴大题的解答体现重点数学思想方法：近3年压轴大题的破解方法基本上用到了分类讨论思想和函数方程思想，这2种数学思想是高中需要掌握的核心数学思想，重要性非同一般，值得关注和重视．

2.4 考查真实水平不变

试卷对知识的理解程度、知识与能力综合运用要求较高，区分度较明显，有一定的梯度，难度不是很大，如选择题的第8～10题、填空题第16～17题以及解答题的第22题，学生整体做下来不是很困难，但很难做到底．试题中也新意层出，创新性的问题如理科第16题(文科第17题)，这是一道阅读理解题，需要考生在考场上临阵思考、学习和运用，也真正考查了学生对数学问题的理解和分析能力，还说明了一种价值取向的观念．理科第22题第(Ⅱ)小题，只需利用第(Ⅰ)小题的结论，无需求出f(x)的最小值，然后转化为线性规划问题.本题考查了数形结合、化归转化等数学思想及考生的数学理性思维与创新意识．理科第10题、第22题的解答给人一种愉悦的感觉，结果体现了数学的美，从而突出了数学的文化价值．

3 突出本质，意蕴深邃，在不变中提高

试卷在考查数学基础知识和基本技能的基础上，注重数学思想方法的考查，关注数学本质，重视能力考查．高度的抽象性、思维的灵活性和应用的广泛性是数学学科的基本特点．2012年浙江省数学高考试卷不乏具有概念的深刻性、思辨的逻辑性、解法的多样性等特点的试题，如文科的第10题、理科第9，19题等，很好地体现了数学学科的上述特点．

3.1 注重阅读，凸显能力

试卷再现了很多新题，如文科的第8，10，17，21～22题和理科的第9～10，14，16～17、22题等，注重强调学生的数学理解能力，提高对数学阅读能力的要求．这些试题数学形式化程度高，需要较强的数学阅读与审题能力，使考查具有一定的难度和深度，这样既有利于优秀考生顺利发挥水平，又能有效区分不同能力层次的考生．

3.2 强调方法，突出思维

试卷继续坚持能力立意的命题指导思想，一如既往地贯穿逻辑思维能力的考查．选择题中，多数试题都不能用特殊值法来解题，这样既提高了学生的思维能力，又要求学生掌握学数学要在悟中学、学中悟和理解为前提的学习方法．很多试题的解答是基本的、传统的通性通法，意在检查考生对数学本质的理解与感悟，以及考查分析问题与解决问题的能力．如理科第4，7，10，16，21～22题和文科第14，21～22题等考查了数形结合思想，理科第6，19，22题和文科第12，21题等突出考查了分类讨论思想．

3．3 强化思想，考查能力

试卷仍然重视高中数学基础知识和基本数学思想方法的考查，同时突出主干知识和重要数学思想方法的考查．如分类讨论思想是一种常见的数学思想，2012年的高考试卷中对它仍有进一步的考查，如函数与方程、化归与转化思想在多个试题中得到体现．特别重视了逆向思维的考查，如理科第7，9，17题，很好地体现了特殊性存在于一般性之中的哲学思想．

3.4 提倡应用，体现课标

试卷恰当地考查了学生的应用能力．理科试卷中第19题“摸球”问题，情景具有公平性，这类问题要求学生对所提供的信息资料进行归纳、整理和分析，将实际问题抽象为数学问题，并能用数学语言正确地表述，建立数学模型，应用相关的数学方法解决问题．对学生科学素质、探究能力的考查，理论联系实际问题的能力，强调联系生活、生产、环境等实际能力，发挥了良好的导向作用．如解析几何问题突出坐标化思想，而方程思想则是坐标化思想的核心，如理科21题的第(Ⅱ)小题，利用点差法或韦达定理可得直线l的斜率为-32，由此可设直线的方程为y=-32x+m，进一步建立△ABP的面积S关于m的函数式，再利用求导数的方法即可得到当△ABP的面积S取到最大值时m的值．

4 体现差异，正确导向，在提高中思考

试卷的选择、填空、解答题都分别由浅入深,使每位学生都能充分发挥应有的水平．试题的选拔功能突出，具有较高的信度、效度与区分度．如理科第20题的第(Ⅱ)小题求二面角的平面角的余弦值，可用多种方法求解，如向量法与综合法等，有效地考查了考生思维的差异性．

4.1 题型出新，道道经典

试卷中很多试题融入了新课程、新大纲的理念，选材寓于教材又高于教材，如文科的第8，10，12，17，21～22题，理科的第9～10，14，16～17，19，21～22题等，每道题都是新题，道道经典．还有如理科第20题的第(Ⅱ)小题，文科第20题的第(Ⅱ)小题，对学生空间想象能力提出了新的要求，只有在平常注重思维能力培养的考生，才能找到合理的解题途径，才能有效地解决问题．又如理科的第21题第(Ⅱ)小题，在解题中要用导数求最值，第22题在解题过程中要用到整体思想、分类讨类思想、绝对值、线性规划以及有较强的数学阅读能力．

4.2 文理试题，差异加大

纵观文、理2份试卷，文理“并蒂”，别具匠心，“姐妹题”特别多，命题者通过完全移植、题型改编、错位排序、微调改造，降低了文科试卷的难度．注重文、理试卷的差异，体现新教材的特点，理科试卷创新力度较大，文科试卷相对稳定，体现了新课程文、理科数学各自的特点和要求．文、理的共同题有7道，其中选择题有4道、填空题有3道；姐妹题有6道，其中客观题有4道，解答题有2道；其余均为不同题．理科侧重考查抽象概括、理性思辨能力，文科侧重考查形象直观、具体应用能力．

4. 3 入手容易，深入加难

试卷的解答题“入手容易深入难”比较明显，如立体几何和解析几试题都需要考生耐心读懂、细致计算．还有文科的第17，21题和理科的第10，16～17，22题都有这种情况，考查学生将文字语言转化为数学语言的能力、理解能力以及分析问题和解决问题的能力．同时比较好地考查了学生对信息的接收、加工和输出等数据处理能力，达到有效考查综合素质的目的．

4．4 面对新题，调整心态

在题型、题量、结构、内容分布、重点知识略有提高的基础上，在试题的选材、情景、设问、编排等方面作了很大改进，尤其是在深化能力立意，突出数学内涵方面更是迈出了新的步伐．试卷对学生在考试中遇到难点、面对新题及困难时的心态调整、战胜困难的数学素养以及意志品质等非智力因素提出了新的要求，也为今后数学的教与学提出了新的挑战．

5 数学复习，解题教学，在思考中感悟

通览全卷，试卷传递一个信息，高中数学教学依靠“题型+技巧+大运动量训练”的教学难以适应高考，呼唤突出数学本质、实现高中数学教学的自然回归，有利于落实新课程改革，推动中学素质教育．根据2012年浙江省数学高考试卷的情况，面对2013年新课改数学高考，应该如何复习和教学呢？

5.1 关于数学复习

众所周知，高考数学的复习面广、量大，使不少考生感到畏惧、无从下手．如何提高数学复习的针对性和实效性？教你一招，高考数学复习法(简称“三问法”)：

(1)问自己：“学懂了没有？”——主要解决“是什么”的问题，即学了什么知识；

(2)问自己：“领悟了没有？”——主要解决“为什么”的问题，即用了什么方法；

(3)问自己：“会用了没有？”——主要解决“做什么”的问题，即解决了什么问题．

具体来说就是，在数学高考复习中要驾驭好3条线：知识(结构)是明线(要清晰明了，能编成一张知识网)；方法(能力)是暗线(要提炼和领悟)；思维(训练)是主线(要重视和加强)．

在如此高考导向下，每一位数学教师理应先审视课堂教学的着力点．如数学概念的复习，是高三数学复习最重要的一个环节．在学习数学的过程中，基本概念是基本技能的生成之本，数学思想方法的形成，更离不开对数学概念的深入理解．要通过复习课，提升学生对概念理解的更深层次，建议遵循如下原则:

(1)问题驱动原则．在教学中，“先罗列概念，再对应性的例题选讲”型的复习课并不鲜见．这种“油水分离”的课，一般不会有好效果，因为“罗列”对优等生来说，不新奇，无刺激，他们不会积极参与；对后进生来说，光凭“罗列”会不了，记不住，所以也不会有兴趣．好的方法是重点概念采取“问题驱动”，在解决问题中获取概念．

(2)结构化、逻辑化原则．零散的知识不易理解，不易记忆，运用难以自如．因此，概念的复习还应遵循“结构化、逻辑化”原则．

5.2 关于“题海战术”

就数学教学而言，“题海战术”着眼于“面”的覆盖，试图穷尽“题型”，以便凭借“面积大”来提升覆盖“考题”的几率，希望学生能因更多的“熟面孔”而提高考试成绩；“题型教学”着眼于“点”的落实，强调固化不同题型的解题规则，强调学生机械的记忆与模仿.两者虽然各有侧重，但都把教学重心落在解题上，因此，也有一定的应试效果．从长远来说，数学教学若固守于此，不论对教师的“教”，还是对学生的“学”，都将会产生严重的负面影响．首先“题型”的条分缕析，汇集成“题海”泛滥，势必加剧课堂教学越来越关注惰性知识的积累，越来越纠缠于细枝末节，无谓地加大学生负担，使学生难以学到“精当”的数学．

其次，“题型教学”强调类型识别，固化解题规则，淡化解题策略的成因分析，这势必造成学生思维活动的“短路”，虽挣扎于“题海”，却不能摆脱“猪八戒吃人参果”的悲哀，由此导致学生能力难有实质的提高，对熟悉的题型可产生本能的反应，对不熟悉的题型很难做到具体问题具体分析，最终把鲜活的、富于挑战性的数学解题智能沦落为以牢固记忆、熟练模仿为主要特征的解题技能．

数学的惯性是巨大的，在课堂教学中，特别是在高三复习课中，“高起点、大容量、快推进”的教学方式还在一定程度上存在着，以“记忆、模仿”为主要特征，而忽视理解的“题型教学”方式仍是应试备考工作中的主流方法，教学工作大多陷入“刻苦加刻苦、效率低下”的误区．客观形势需要我们对数学教育的发展方向作出深刻的反思，即使再“功利”一些，至少也应该对如何提升高三复习的效率作出深刻的反思．

5.3 关于解题教学

解题教学，有的教师热衷于解法罗列，在学生思维参与度很低的情况下，方法1、方法2、……，乐此不疲，殊不知过分依赖复制模仿，题型覆盖，试题一变，便难以奏效，效率低下.从心理学角度看，解题技能是在解题策略的调控支配下实施的，而解题策略是解题者心理活动的产物.因此，解题教学与其说是教“解”法，不如说是教“想”法，帮助学生提升策略水平，才是解题教学的根本之道．

2012年的数学高考试卷风格是“难题和新题不是难在技巧上，而是难在策略上”.在教学中，如何提升学生的策略水平?这是一个很难回答的问题，可以试探性地做如下讨论:学生的解题策略水平，离不开数学思想方法的支撑，离不开对数学概念的深入理解；脱离学生的认知基础，一味强调“核心技能”的复制与模仿，难以提升策略水平；在学生的认知基础上进行“技能训练”而不进行“技能成因”的合理性、必要性探究，也难以提升学生的策略水平；学生策略水平的高低与学生包括阅读理解在内的综合能力有关，与学生数学学习的经验水平有关，与学生面对陌生情境，能否进行信息加工，通过现象看本质的心理素质有关，与学生在长期的解题训练中，能否不断反思“技能成因”的合理性、必要性，进而内化为策略原则，即“元认知”水平有关．基于这样的认识，要提升解题教学的效率，就必须做到如下几点:准确把握学生的思维习惯、认知基础，并以此作为解题策略生成的起点；教学中要善于引导学生把他们已有的生活经验适时迁移到解题策略的制定上来；对于超出学生思维习惯、认知基础的解题策略，教师可以启发式讲授，但要深入挖掘其合理性、必要性，力求自然、和谐、水到渠成.

5.4 关于高考感悟

对于2012年的数学高考试题，笔者觉得需要在模拟考试中提高心理适应度，遇难不慌，遇易不骄，稳扎稳打，精益求精．高三复习需强调的是要控制模拟的量，不能漫无目的地天天考，否则会疲倦麻木，效果不言自明．有些学生在高考时，题题被扣分，究其原因，大多数是答题不规范、抓不住得分要点、思维不严谨所致．建议考生平时应该练几套有标准答案和评分标准的模拟卷(包括近几年的高考试卷)，并且自批自改，精心研究评分标准，吃透评分标准，对照自己的习惯，时刻提醒自己，力争减少无谓的失分，保证会做的不错不扣分，即使不完全会做，也应理解多少做多少，增加得分机会．

在平时每次考试结束试卷发下来，要认真分析得失，总结经验教训，特别是将试卷中出现的错误进行分类：(1)遗憾之错．就是分明会做，反而做错了的题.如“审题之错”是由于审题出现失误，看错数字等造成的；“计算之错”是由于计算出现差错造成的；“抄写之错”是在草稿纸上做对了，往试卷上一抄就写错了、漏掉了；“表达之错”是答案正确但与试题要求的表达不一致．(2)似非之错．记忆不准确，理解不够透彻，应用不够自如;回答不严密、不完整；第一遍做对了，一改反而改错了，或第一遍做错了，后来又改对了；一道题做到一半做不下去了等．(3)无为之错．由于不会，因而答错了或猜的，或者根本没有答．这是无思路、不理解，更谈不上应用的问题．原因找到后就消除遗憾,弄懂似非,力争有为,切实解决“会而不对、对而不全”的老大难问题．

总之，数学是高考的主要学科，数学得分的高低，将会决定考生的高考命运．如何在高三比较短的时间里，获得最佳的数学成绩，一般是有规律可寻的，如下的几条建议也许对读者有一定启示：按步思维，程序解答，回归定义，分析转化，数形结合，函数思想，分类讨论，反面入手，特殊突破，重视通法．数学解题，事实上就是一系列的连续化归与变形，就是将复杂的问题弄简单、弄明白．当你的心在与书交流、与数学题对白时，心头就会逐渐升起淡淡的喜悦，浮荡的灵魂就能体验到数学思维里的美妙和美妙思维里的数学．愿我们能在思考中学习数学，在理解中感悟数学，在运用中体验数学．