1／4车－路耦合动力学模型研究

周玉民，谈至明，刘伯莹

（1.同济大学 道路与交通工程教育部重点实验室，上海 201804；2.中交路桥技术有限公司，北京 100029）

车辆在混凝土路面上行驶，由于路面本身不平整（起伏、错台）、不连续（接缝、裂缝），一方面诱发车辆振动，使车辆作用于路面的力波动变化；另一方面，这种波动变化的力使得路面板变形和振动，进一步影响车辆的振动，两者相互耦合、相互影响.车－路相互作用研究在国际、国内均有开展.国际上，Timoshenko S P解决了移动常力和简谐力与梁的相互作用问题［1］；Bonder N G，Kolousek V 和Fryba L的研究集中在铁路车辆与桥梁的相互作用［2－5］；随后，铁路车辆－轨道相互作用研究发展起来［6］；Cebon D等结合实测和有限元方法，系统研究了车辆－路面结构的相互作用［7］；Monismith C L等讨论了现代路面设计的动荷影响［8］；Kulakowski B T出版了车－路相互作用的专题论文集［9］；Liu C，Kim S等采用积分变换方法获得了无限大板上移动车辆荷载作用下的挠度解析解［10－12］；Shi X M 等采用三维车－路相互作用模型，模拟了路面的动态响应［13］.国内，成祥生、黄晓明等研究了运动荷载作用下弹性地基板的动力响应［14－15］；钟阳讨论了路面不平整引起的车辆随机动压力［16］；许金余采用有限元法，分析了飞机荷载作用下半空间地基板的响应［17］；孙璐研究了移动随机荷载激励下路面结构的响应［18］；杨绍普等采用模态叠加方法，研究了重型车与路面的相互作用［19］.以上研究或将路面结构视为无限长梁、无限大板和半无限空间层状体系，或采用移动常力、简谐力及随机荷载，获得了车－路相互作用下路面动态响应的解析解或数值解，深化了人们对该问题的认识.

然而，混凝土路面结构是有限尺寸，接缝处有错台且可部分传荷，路面底下有脱空，要获得路面动态响应解析解是十分困难的.迄今，对于复杂边界条件混凝土路面结构，研究车－路耦合作用强弱和路面结构动力特性的工作很少，认识有限.

1 1／4车-路耦合动力学模型

欲将车辆、路面、地基统一在一个相互作用大系统里研究，必须考虑车辆、路面、地基自身的力学特性，建立各个部分合理的力学模型，并通过一定方式将几个部分有机地联系起来，采用适当的求解方法，以获得满足精度要求的解答.对于车辆部分而言，将其简化为1／4车模型就是一个很好的近似.对路面结构来说，将其视为梁或板是较为符合实际的.同时，梁（板）下地基应尽量简单合理.路面结构和地基采用如下假设：① 路面材料为各向同性、线弹性；②接缝具有部分传递剪力的能力；③ 接缝附近路面板下脱空（地基弱化）；④ 地基符合Kelvin假设.

1／4车－路耦合动力学模型如图1，2所示.图中，J1，J2分别为接缝1，2的错台量；L为单块混凝土路面梁（板）的长度；B为单块混凝土路面梁（板）的宽度；Lv为接缝附近路面梁（板）下脱空（地基弱化）的长度；Lg为接缝缝宽；e，e1，e2分别为路面梁（板）上纵边中部及横缝附近的点位；z0为e1和e2到混凝土路面板纵边边缘的距离；x0为车辆的起点坐标；ms，mt为车辆悬挂系上部及轮胎的质量；Cs，Ct为车辆悬挂系及轮胎的阻尼系数；ks，kt为车辆悬挂系及轮胎的弹簧刚度；ys，yt和ycont为质量块ms，mt和轮胎接地点的垂向位移；v为车辆匀速行驶的速度.

1／4车垂向运动控制微分方程为

路面梁（板）垂向运动控制微分方程为

车－路耦合作用力P的计算式可写为

接缝边界左右两侧反力为

接缝下局部地基弱化采用模量和阻尼比表征

式中：h为混凝土路面梁（板）的厚度；EI为梁的抗弯刚度（E为弹性模量，I为截面惯性矩），EI＝Ebh3／12；D 为混凝土路面板的抗弯刚度，D＝Eh3／12（1－u2）；W 为混凝土路面梁（板）的垂向位移；k为地基反应模量；ρ为混凝土路面梁（板）的质量密度；F为车－路相互作用力；δ（）为荻拉克函数；R为梁（板）接缝处的反力；kw为接缝弹簧剪切刚度；WL，WR分别为梁（板）在接缝左右侧的弯沉；λk为梁（板）下脱空区地基反应模量kv与梁（板）中地基反应模量ki之比；λC为梁（板）下脱空区地基阻尼系数Cfv与梁（板）中地基阻尼系数Cfi之比.

方程（1），（2）和（3）即为车 －路相互作用系统的控制微分方程，在已知边界条件和初始条件的情况下，通过直接积分可获得问题的解答.

2 模型求解

事实上，方程（1），（2）是耦合的，联系的纽带就是方程（3），当边界条件和初始条件较为复杂时，要求得解析解几乎是不可能的.一般通过直接积分，采用有限元方法，获得问题的数值解.

对混凝土路面结构（梁、板）进行离散，矩阵形式的控制微分方程如下：

1／4车 －路面结构（梁、板）的初始条件为v（x，t）＝v，或v（x，z，t）＝v.

采用 Newmark－β法或修正的 Newmark－β法（HHT法）求解方程（6）.为了获得具有实用意义的解答，积分时间步长Δt应满足如下条件：

式中：Tn为混凝土梁（板）的最小周期，通常采用1／nf来估计积分时间步长，步长次数n＝20～30，f为车－路系统的高阶频率.

车－路系统的频率变化范围在0.1～400.0Hz.研究和测试表明，对车－路系统有较大影响的频率在50Hz以下，因此，积分时间步长可在0.0005～0.0020s之间选取.

对于混凝土路面梁（板），单元划分的最小尺寸应满足一定条件才能达到所要求的精度.这可通过试算确定.通常情况下，单元尺寸划分到0.1m即可.

3 耦合动力学模型结果比较

考虑路面常见货车及典型混凝土路面结构，采用如下算例.货车车辆参数为：ms＝2500kg，mt＝440kg，ks＝1MN·m－1，kt＝5MN·m－1，Cs＝12000（N·s）·m－1，Ct＝1500（N·s）·m－1.混凝土路面结构参数为：L＝5m，B＝3.75m（梁为1m），h＝0.24m，Lg＝10mm，Lv＝0，k＝100MN·m－3，Cf＝5×104（N·s）·m－3，JF1＝JF2＝0，λk＝λC＝1，接缝剪切刚度kw＝100MN·m－3.x0＝0，z0＝0.097m，v＝0～50m·s－1.

3.1 非悬挂系质点加速度比较

图3所示为采用两种模型（车－地基梁和车－地基板耦合动力学模型）非悬挂系质点处的垂向加速度at随车辆移动位置x变化的曲线.

从图3可以看到，车辆移动到不同位置x，两种模型下的非悬挂系质点处垂向加速度at具有较好的一致性.车辆速度v增大，路面板接缝处非悬挂系质点垂向加速度峰值随之增长，即车辆对路面接缝处的动态作用增强.

通常，通过测试车辆非悬挂系质点处的垂向加速度，经对时间的两次积分可获得路面的平整度指标，用于路面行驶质量评价.由于地基梁模型简单，计算速度快，因此，可采用车－地基梁耦合动力学模型来分析水泥混凝土路面的非悬挂系质点处垂向加速度，进而获得路面的平整度.

3.2 车－路耦合作用力比较

车辆以一定速度在水泥混凝土路面上行驶时，车－路耦合作用力P是时间和空间位置的函数.图4所示为采用两种模型下，P随x变化的曲线.

从图4可以发现，车辆移动到不同位置x，两种模型下的P具有较好的一致性.车辆速度v增大，路面接缝附近的P峰值也随之增加，波动性增强.也就是说，车辆对接缝附近路面的动态作用加剧.

3.3 路面梁（板）动弯沉、动应变比较

路面梁（板）在给定点e1处的动弯沉随车辆移动位置x变化的曲线如图5所示.由图5可知，车辆移动到接缝附近，两种模型下e1点的最大弯沉Wmax在数值上几乎相同；远离接缝，两种模型下弯沉均值基本一致，但梁模型的弯沉波动性较板模型大.车辆速度v提高，弯沉的波动幅度增大，反之，两种模型结果趋近于静态结果.

两种模型下，路面梁（板）在给定点e处的动应变随x变化的曲线如图6所示.由图6可见，两种模型下梁、板边中点的动应变εx随x的变化曲线是相似的，不同之处是中点的动应变最大值εxmax有差异.原因在于梁是按单位宽度考虑的，其抗弯刚度要比板大，故其最大动应变比板小.车辆速度提高，应变的波动性增大.反之，应变趋近于静态结果.

3.4 接缝嵌缝料剪切应变比较

车辆以一定速度驶经接缝，车辆和路面板产生随位置（时间）变化的耦合振动，接缝嵌缝料剪切应变必然是动态变化的.考虑到嵌缝料自身的模量、质量较小，分析时忽略其对车－地基梁的影响，接缝嵌缝料剪切应变γ近似计算式为

图7所示为两种模型下，γ随x变化的曲线.

从图7可以发现，车辆移动到接缝附近，两种模型下接缝嵌缝料剪切应变γ在数值上略有差异.原因在于梁按单位宽度考虑，两者的抗弯刚度有差异，影响接缝两侧弯沉的大小，进而导致γ的差异.远离接缝，两种模型的γ大体相当，但梁模型的γ波动性略大.车辆速度提高，γ波动幅度增大，反之，两种模型结果趋近于静态结果.

3.5 接缝传荷效率比较

以弯沉和应变表征的接缝传荷效率计算式为

式中：WU，WL为e1和e2点的动弯沉；εU，εL为e1和e2点的动应变.

两种模型的接缝传荷效率见表1.从表1可以看到，虽然接缝剪切弹簧刚度kw（＝100MN·m－3）相同，但由于梁和板抗弯刚度上的差异，梁模型的接缝弯沉传荷效率比板的高.对于接缝应变传荷效率，梁模型的不可用，板模型的在数值上较弯沉传荷效率低很多.随着车辆速度提高，梁、板模型的接缝传荷效率数值上均略有波动.

表1 两种模型下的接缝传荷效率Tab.1 Joint load transfer efficiency for two models %

大量的计算分析表明，ms＝2500～7500kg，ks＝0.2～2.0MN·m－1，kt＝1.2～12MN·m－1，h＝0.18～0.30m，Lg＝5～20mm，kw＝1～10000 MN·m－3，k＝50～200MN·m－3，Cf＝5×103～5×106（N·s）·m－1，地基弱化指数λ在0～1变化.两种模型结果变化规律与以上分析相同.

4 应用

在已知车辆、路面结构和路基参数的情况下，车－路耦合动力学模型可用于以下几个方面：① 车辆振动特性分析及参数优化；② 路面结构振动分析及结构设计；③ 路面平整度及路面性能评价.

若已知车辆、路面结构和路基中的任意两部分的参数和车辆非悬挂系质点加速度，或路面板给定点动弯沉、动应变；模型可用于以下未知部分参数的识别和估计：① 车辆各组成部分参数识别；② 路面板厚度、板下脱空情况估计；③ 地基参数估计.

显然，前面三个方面的应用是所谓的正问题；而后面三个方面的应用则属于反问题.近年来，对于反问题的研究日益活跃，在路面性能评价及预防性养护中获得广泛应用.

以前，由于车－路耦合作用研究上的困难（接缝不连续、路面底下脱空很难处理），要获得接缝两侧的振动特性参数往往只能依靠试验测试，而测试结果或者零零星星，或者不可靠，以致无法应用.今后应用本模型，可以开展接缝振动特性的研究工作，用于混凝土路面接缝病害的预防和控制.

5 结论

（1）当车辆速度为0时，车－路耦合动力学模型退化为静力学模型，非悬挂系质点加速度为0，车辆作用于路面的力为静力，路面结构的弯沉、应变和接缝嵌缝料剪切应变与静力学模型的结果一致.

（2）车辆速度不为0，随着车辆速度的提高，两种模型在非悬挂系质点加速度、车－路耦合作用力、动弯沉和动应变、接缝嵌缝料剪切应变上的波动性明显增强.当然这与地基阻尼系数大小有密切关系.

（3）由于梁和板本身的差异，两种模型在非悬挂系质点加速度、车－路耦合作用力、动弯沉以及接缝嵌缝料剪切应变上的结果大体一致，但在梁、板边中点动应变、接缝传荷效率上存在差异.

（4）由于1／4车－地基梁耦合动力学模型相对简单、计算效率高，且结果与地基板模型结果具有较好的一致性，特别适用于路面接缝传荷效率、接缝嵌缝料的振动特性分析.

鉴于混凝土路面结构的不连续性，采用本文的两种1／4车－路耦合动力学模型，可以模拟车辆驶过接缝处时车辆和路面结构的振动特性，为车辆设计和参数优化，路面结构设计和性能评价奠定基础.

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