因小识大——“用好，用足，用活”一道题

◆李莉

(浙江省安吉县丰食溪中学)

因小识大
——“用好，用足，用活”一道题

◆李莉

(浙江省安吉县丰食溪中学)

经常听到有老师抱怨:“与这道题一模一样的类型我让学生做过好几遍了，可这次考试还是有那么多学生做不出。”原因在哪?有很多方面，但其中有一点可能容易忽视，那就是在学生解题和老师分析时，往往就题论题。不注意知识之间的融会贯通，学生不会触类旁通。这就需要老师们平时多思考一下，善于“借题发挥”，把一道有较强代表性和典型性的问题用好、用足、用活。让学生们通过一道题的掌握，能解一类题，使知识网络化。整合思维模式，走出题海战术，真正做到轻负高质。

一、原题展示

如图，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，P是BD上一点，且 AP=PC，AP⊥PC，则△ABP≌△PDC。请说明理由。

分析:此题是一道基础题，很容易发现已具备证全等的两个条件:①∠B=∠D，②AP=PC，还缺一个条件需进一步挖掘，由AP⊥PC能想到最后一个条件，应找∠APB=∠C或∠A=∠CPD。此题的图形就是常说的“三垂直图”的特殊情况，它作为一个基本图形，绝大多数学生应该对它十分熟悉，而且会应用它的结论解决其他问题。

二、特殊图形应用

应用1:变身展示。如图，Rt△APC中，∠APC =90°，AP=PC，过点P任作一直线l，过点A作AB⊥直线l于B，过点C作CD⊥直线l于D。求证:△ABP≌△PDC(或求证:BD=AB+CD)。

分析:此题严格说来与原题并无二样，但区别在于条件给出的方式不一样，特别是过点P任作一直线l，让很多学生顿感难度加大，感觉不易把握这个“任”字。其实这里的“任”字也是受限的，因为在“如图”两字前提下，△APC应是位于直线l同侧。通过本题的“变身”，让学生认识到很多题的本质一样，只不过有时它们会穿上不同的外衣。

应用2:课后思考:若让直线l绕点P转动起来，其他条件不变，是否始终有△ABP≌△PDC?

分析:设计本题作为课后思考题，主要原因有二:其一，是上题的直线l并没有达到任意性，让人意犹未尽;其二，是若△APC不位于直线l的同侧，则图形就不是原题的“模型”，不利于加强“建模”，分散了注意力，但课后若能再做一下拓展，就能达到把课堂效益放大的作用。

三、题目从特殊到一般

若把条件AP=PC拿掉，则结论△ABP≌△PDC可变为△ABP∽△PDC，组成新题如下:

如图:AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，P是BD上一点，AP⊥PC，则△ABP∽△PDC。请说明理由。

分析:原题的图形严格来说是三垂直图形的特殊情况，因为除了三垂直之外，还多了一个条件AP=PC，若拿掉这个条件，才是一般的三垂直图。那么原题的结论△ABP≌△PDC也相应变成一般的结论△ABP∽△PDC，从特殊到一般是研究问题的常用方法，通过本题可让学生了解到科学地研究

问题一个好方法，而不是单纯地让学生成为解题的机器。

四、一般基本图形的应用

应用1:函数问题:如图，AQ⊥MQ，NM⊥MQ，Q、M分别为垂足，点P是线段MQ上(不包括端点)的动点，连接PA，过点P做直线BP，使BP⊥PA，交射线MN于点B，连接AB，已知AQ=1，MQ=2并设PQ=x，用S表示四边形MQAB的面积。

(1)求S关于x的函数表达式与自变量x的取值范围;

(2)当x为何值时，S的值最大?此时四边形MQAB是哪一种特殊四边形?S的最大值是多少?

分析:本例是为了加强基本图形的应用而设置的，应通过本题让学生学会从复杂背景下识别出基本图形，应用一般结论发现解决实际问题的突破口。本题若马上想到△BMP∽△PQA，就简单了。由BM∶PQ=MP∶再应用二次函数相关知识得解。

应用2:折叠问题:如图，折叠矩形ABCD的一边CD，使点D落在AB边的点E处，CF为折痕。

(1)△BCE与△AEF有什么关系?

(2)求矩形ABCD的周长。

分析:本题可设EA=3x，FA=4x，则EF=5x，BC=9x，利用基本图形的相似关系，很容易求得BE=12x，在Rt△BCE中，(9x)2+(12x)2=(52

应用3:变式拓展改为选择题:如图:AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，P是BD上一动点(不包括端点)，AB=4，CD=6，BD=14。若连结AP，CP所得的两个三角形相似，则BP的长为( )

A.2 B.5.6

C.12 D.上述各值都可能

分析:通过本题让学生认识到，同样的题目可由不同的题型出现，作为选择题，本题的得分率明显高多了，可用的方法也不只是从正面求解，也可代入检验得出。