乘法扰动下任意矩阵次酉极因子的扰动界

孔祥强

（菏泽学院 数学系，山东 菏泽274000）

乘法扰动下任意矩阵次酉极因子的扰动界

孔祥强

（菏泽学院 数学系，山东 菏泽274000）

利用矩阵的奇异值分解和广义极分解，在乘法扰动下，研究了任意矩阵次酉极因子的扰动界，得到了全新的扰动上界定理，所得结论将文献［3］中的列满秩矩阵推广到了非列满秩矩阵．

次酉极因子；广义极分解；扰动界

对矩阵次酉极因子扰动的研究是矩阵扰动问题研究的重要方向，国内外学者已对其进行了许多研究，并取得了很多成果．在文献［1］中给出了当A及其扰动矩阵均为列满秩矩阵时矩阵次酉极因子的扰动界；文献［2］研究了对于非满秩且有唯一广义极分解的矩阵，并进一步推广了文献［1］的结果；文献［3］中给出了任意酉不变范数下矩阵次酉极因子的扰动界．本文利用矩阵的奇异值分解和广义极分解，研究任意矩阵在乘法扰动下其次酉极因子的扰动上界，得到新的非满秩矩阵次酉极因子的扰动界，所得结果推广了文献［3］中的结论．

1 几个定义和定理

定义1［4］设A∈Cm×n，AHA的n个特征值的非负平方根为A的奇异值．若把AHA的特征值记作则A的奇异值为

定义2［4］如果1个定义在Cm×n上的非负实值函数‖·‖满足下列条件：为酉阵满足rank（A）＝1，其中A，B∈Cm×n，则这个非负实值函数‖·‖称为Cm×n上的酉不变范数．

定义3［5］若Q∈Cm×n满足QHQ＝I（n），则称Q为m×n酉矩阵；若Q∈Cm×n满足‖Q x‖2＝ ‖x‖2，∀x∈R（QH）（（R（QH）表示由QH的所有列空间所张成的子空间），则称Q为m×n次酉矩阵．

设Q∈Crm×n，则Q为次酉矩阵的充分必要条件是Q＝U1V1H，其中U1为m×r酉矩阵，V1为n×r酉矩阵［6］．

定义4［5］若A∈Cm×n有分解A＝QH，其中Q∈Cm×n为次酉矩阵，H∈Cn×n为半正定矩阵，则称该分解为A的广义极分解，称Q为次酉极因子．

定理1［4］设分块矩阵则对任一酉不变范数

定理2［4］设存在酉阵U及V，使得其中σr），σ1≥…≥σr＞0，称此分解为矩阵A的奇异值分解．

定理3［4］设 ‖·‖ 为Cm×n上的酉不变范数，则有 ‖AB‖ ≤ ‖A‖2‖B‖，∀A∈Cm×m，∀B∈Cm×n和 ‖AB‖ ≤ ‖A‖‖B‖2，∀A∈Cm×n，∀B∈Cn×n．

定理4［6］设A∈Cm×n，则在条件R（QH）＝R（H）限制下，A的广义极分解A＝QH是唯一的，其中

2 主要结论

引理1［7］设M和N是2个Hermite（即MH＝M，NH＝N）矩阵，C是复矩阵且具有适当的维数，Δ＝［α，β］⊂R，Δ′＝R＼（α－δ，β＋δ），其中δ＞0，如果λ（M）⊂Δ，λ（N）⊂Δ′，则矩阵方程MXXN＝S存在唯一的解X，且对任意的酉不变范数‖·‖，有‖X‖≤‖S‖/δ．

引理2［3］设A当

由矩阵的分块可得

所以有

所以有

对（1）式进行共轭转置得

由（4）—（7）式得

由Σ1和均为非奇异矩阵及（2）和（3）式可得

由Σ1和1均为非奇异矩阵及（5）和（6）式可得

由（14）—（16）式可得

综合（9）、（13）和（17）式可知结论成立．

［1］ Li R C．Relative perturbation bounds for the unitary polar factor［J］．BIT，1997，37（1）：67－75．

［2］ Chen X S，Li W，Sun W W．Some new perturbation bounds for the generalized polar decomposition［J］．BIT，2004，44（2）：237－244．

［3］ 陈小山，黎稳．酉不变范数下极分解的扰动界［J］．计算数学，2005，27（2）：121－128．

［4］ 孙继广．矩阵扰动分析［M］．2版．北京：科学出版社，2001：12－49．

［5］ 孙继广，陈春晖．广义极分解［J］．计算数学，1989，11（3）：262－273．

［6］ Ben－Israel A，Greville T．Generalized inverses：theory and applications［M］．New York：Springer－Verlag，2003：218－220．

［7］ Bhatia R．Matrix analysis［M］．New York：Springer，1997：152－157．

Multiplicative perturbation bounds of the sub－unitary polar factor for arbitrary matrices

KONG Xiang－qiang
（Department of Mathematics，Heze University，Heze 274000，China）

Using the singular value decomposition and generalized polar decomposition，the multiplicative perturbation bounds of the sub－unitary polar factor for arbitrary matrices are studied．Some new perturbation bounds are presented，the results extend the full column rank matrix of original conclusions to the non－full column rank matrix．

sub－unitary polar factor；generalized polar decomposition；perturbation bound

O241．6

A

1004－4353（2012）03－0196－04

20120302 作者简介：孔祥强（1983—），男，助教，研究方向为应用数学．

山东省统计局重点课题项目（KT11048）；山东省教育科学“十二五”规划重点课题项目（2011GG049）