2－度量空间上具有隐式收缩条件的2个映射的唯一公共不动点

朴勇杰， 沈京虎

（延边大学理学院 数学系，吉林 延吉133002）

2－度量空间上具有隐式收缩条件的2个映射的唯一公共不动点

朴勇杰， 沈京虎

（延边大学理学院 数学系，吉林 延吉133002）

通过引进1类新的函数类并建立1个隐式收缩条件，证明了满足某种条件的2个映射存在唯一公共不动点的定理，同时给出了若干推论．所得结果推广和改进了文献［3－9］的一些结果．

函数类F；隐式收缩条件；重合点；公共不动点；不动点

0 引言与基本概念

文献［1－9］的作者在2－度量空间上讨论并得到了有限个或无限个映射族的公共不动点定理，但他们主要是在显式或半显式的收缩或拟收缩条件下推广和改进了2－度量空间上的不动点和公共不动点定理．文献［10］的作者在度量空间上通过引进隐式收缩条件讨论了公共不动点问题，得到了较好的结果．本文受文献［10］的启示，通过引入1类新的函数类F并建立1个隐式收缩条件，讨论并得到2－度量空间上2个映射的公共不动点的存在定理，进一步给出1个映射的唯一不动点存在定理．

定义1 F∈F当且仅当F∶（R＋）6→R＋是连续函数，其中R＋＝［0，∞）．考虑F的如下几个性质：

（F1）F关于第6变元是单调递减的且存在h∈ ［0，1）使得若F（u，v，u，v，0，u＋v）≤0，则v≤hu；

（F2）对任何u＞0，F（0，u，0，u，0，0）＞0；

（F3）对任何u＞0，F（u，u，0，0，u，u）＞0．

注记1 定义1中给出的F的各种条件明显不同于文献［10］中所给的条件．

例题1 定义F∶（R＋）6→R＋为F（u1，u2，u3，u4，u5，u6）＝a1u1＋a2u2＋a3u3＋a4u4＋a5u5－a6u6，其中a1，a2，a3，a4，a5，a6为非负实数且满足条件：则由给定条件可知h∈［0，1），于是F满足（F1）．因为a6＜a2＋a4，F显然满足（F2）．另外，若u＞0，则F（u，u，0，0，u，u）＝（a1＋a2＋a5－a6）u＞0，于是F满足（F3）．例如，取a1＝a3＝a5＝1，a2＝2，a4＝3，a6＝3，则a1，a2，a3，a4，a5，a6满足给定条件．

定义2［11－12］设X是非空集合，f，g∶X→X是2个映射．如果存在x，w∈X使得w＝fx＝g x，则称x是f和g的重合点，而w是f和g的重合的点．

定义3［13］称2个映射f，g∶X→X是弱可共处的是指，如果x∈X且fx＝g x，则fgx＝gfx．

定义4［4－9］2－度量空间（X，d）是由集合X和映射d∶X×X×X→ ［0，＋∞）组成，使得

（i）对任何不同的x，y∈X，存在1个u∈X满足d（x，y，u）≠0；

（ii）d（x，y，z）＝0当且仅当x，y，z中至少有2个是相同的；

（iii）d（x，y，z）＝d（u，v，w），其中｛u，v，w｝是｛x，y，z｝的任意排列；

（iv）对任何x，y，z，u∈X，d（x，y，z）≤d（x，y，u）＋d（x，u，z）＋d（u，y，z）．

定义5［4－9］称2－度量空间（X，d）的序列｛xn｝n∈N是柯西序列是指，对任何ε＞0，存在N∈N使得当n，m＞N时，成立d（xn，xm，a）＜ε，∀a∈X．称｛xn｝n∈N收敛于x∈X是指，对任何a∈X，limn→＋∞d（xn，x，a）＝0．用xn→x表示xn收敛于x，并称x是｛xn｝n∈N的极限．

定义6［4－9］称2－度量空间（X，d）是完备的，是指X中的每个柯西序列都收敛．

引理1［11－12］设f，g∶X→x是弱可共处的．如果f和g有唯一的重合的点w＝fx＝gx ，则w是f和g的唯一的公共不动点．

引理2［4－9］设｛xn｝n∈N是2－度量空间（X，d）中的序列．如果存在h∈ ［0，1）满足对任何a∈X及任何n∈N，成立d（xn＋2，xn＋1，a）≤h d（xn＋1，xn，a），则d（xn，xm，xl）＝0，∀n，m，l∈N，且｛xn｝n∈N是柯西序列．

引理3［4－9］设｛xn｝n∈N是2－度量空间（X，d）中收敛于x的序列，则limn→＋∞d（xn，b，c）＝d（x，b，c），∀b，c∈X．

则F满足（F1）—（F3）．

事实上，F显然是连续的且关于第6变元是单调递减．如果F（u，v，u，v，0，u＋v）≤0，则（a2＋a4

1 不动点和公共不动点

定理1 设（X，d）是2－度量空间，f，T∶X→X是2个映射使得TX⊃f X，且对任何x，y，a∈X，

其中F∈F满足（F1）—（F3）．如果fX 或TX是完备的，则f和T有唯一的重合的点．进一步，若f和T是弱可共处的，则f和T有唯一公共不动点．

证明 任选x0∈X，并根据TX⊃fX 构造2个序列｛xn｝和｛yn｝满足yn＝fxn＝Txn＋1，n＝0，1，2，…．如果存在某1个n使得xn＝xn＋1，则yn＝fxn＝Txn就是f和T的重合的点．因此我们不妨假设xn≠xn＋1，∀n＝0，1，2，…．对任何n＝0，1，2，… 及a∈X，取x＝xn，y＝xn＋1，并代入到（1）式得到F（d（Txn，Txn＋1，a），d（f xn，f xn＋1，a），d（f xn，Txn，a），d（f xn＋1，Txn＋1，a），d（f xn，Txn＋1，a），d（fxn＋1，Txn，a））≤0，整理得

记u＝d（yn－1，yn，a），v＝d（yn，yn＋1，a），则根据定义4的（iv）得到d（yn＋1，yn－1，a）≤u＋v＋d（yn＋1，yn－1，yn）．于是根据（F1），并由式（2）得到

取x＝xn，y＝xn＋1，a＝yn－1，并代入到（1）式，则得到类似于式（2）的如下结果：

根据定义4的（ii）整理得F（0，d（yn，yn＋1，yn－1），0，d（yn＋1，yn，yn－1），0，0）≤0．因此根据（F2）得到d（yn＋1，yn，yn－1）＝0，∀n＝1，2，…．于是（3）式变成

根据（F1）得到v≤hu，即成立d（yn，yn＋1，a）≤h d（yn－1，yn，a），∀n＝0，1，2，…，a∈X．于是根据引理2知序列｛yn｝是柯西序列．

假设TX是完备的．因为yn＝fxn＝Txn＋1∈TX，因此存在z∈X使得yn＝fxn＝Txn＋1→Tz．取x＝xn，y＝z，并代到（1）式得到

整理得

由于F是连续的且yn→Tz以及yn是柯西序列，因此对式（5）取极限（即令n→∞），并根据引理3和定义4的（ii）整理得F（0，d（Tz，fz ，a），0，d（Tz，fz ，a），0，0＋d（Tz，fz ，a））≤0．根据（F1）（其中取u＝0，v＝d（Tz，f z，a））得到d（Tz，f z，a）＝0，∀a∈X．于是再次根据（ii）得到Tz＝f z．令u＝Tz＝fz ，则u就是f和T的重合的点．

假设v＝fz1＝Tz1也是f和T的重合的点且假设u≠v，则根据（ii）存在a∈X使得d（u，v，a）＞0．取x＝z，y＝z1并代到（1）式得

整理得

这与条件（F3）相矛盾，于是必有u＝v．这说明f和T的重合的点是唯一的．根据引理1可知u是f和T的唯一的公共不动点．

如果fX 是完备的，则由于yn＝f xn＝Txn＋1∈fX ⊂TX，因此存在z1，z2∈X使得yn＝f xn＝Txn＋1→fz1＝Tz2．余下的证明与TX是完备时的情况相同，即把z2看作z即可．

推论1 设（X，d）是完备的2－度量空间，T∶X→X是满映射使得对任何x，y，a∈X，

其中F∈F满足（F1）—（F3），则T有唯一的不动点．

证明 取f＝1X，则f和T满足不等式（1）且f和T显然是弱可共处的，于是根据定理1知T有唯一不动点．

推论2 设（X，d）是2－度量空间，f∶X→X是映射使得对任何x，y，a∈X，

其中F∈F满足（F1）—（F3）．如果fX 是完备的，则f有唯一不动点．

证明 取T＝1X即可．

定理2 设（X，d）是2－度量空间，f∶X→X是连续映射使得对任何x，y，a∈X，

其中F是满足（F1）—（F3）的函数．如果fX 是完备的，则f有唯一不动点．

证明 取T＝1X，并按定理1的证明方法构造｛xn｝使其满足xn＋1＝fxn，然后利用条件（F1）和（F2）证得｛xn｝是柯西序列．因为fX 是完备的，因此存在z，u∈X使得xn＋1＝fxn→fz ＝u．由f的连续性可得到fu ＝limn→∞fxn＋1＝limn→∞fxn＝u，这说明u是f的不动点．若v也是f的不动点，则根据（9）式得到对任何a∈X，F（d（u，v，a），d（fu ，fv ，a），d（fu ，u，a），d（fv ，v，a），d（fu ，v，a），d（f v，u，a））≤0，整理得F（d（u，v，a），d（u，v，a），0，0，d（u，v，a），d（u，v，a））≤0．于是根据（F3）得到d（u，v，a）＝0，∀a∈X，因此u＝v．这说明u就是f的唯一的不动点．

注记2 定理2说明定理1中关于F的连续性可用映射f的连续性代替．

注记3 定义F（u1，u2，u3，u4，u5，u6）＝－hu1＋u2，其中h∈ ［0，1），则F显然满足（F1）—（F3）．此时，定理2的（9）式变成d（f x，fy，a）≤hd （x，y，a），∀x，y，a∈X，而这正是Banach不动点原理在2－度量空间上的表现形式．所以定理2本身推广和改进了很多不动点定理，因此具有重要的意义．另外，仍考虑F（u1，u2，u3，u4，u5，u6）＝－hu1＋u2，其中h∈ ［0，1），则推论1中的（7）式变成d（x，y，a）≤hd （Tx，Ty，a），∀x，y，a∈X，满足该条件的推论1正是2－度量空间上满足拟收缩条件的映射族的公共不动点定理［4］的最简单结果的表现形式．因此，本文的主要结果推广和改进了很多2－度量空间上满足显式或半显式状态的收缩或拟收缩条件的映射族的公共不动点定理．

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［4］ 朴勇杰．2－度量空间上具有唯一公共不动点的拟收缩型非交换自映射族［J］．黑龙江大学学报：自然科学版，2006，23（5）：655－657．

［5］ Piao Yongjie．Unique common fixed point for a family of self－maps with same type contractive condition in 2－metric spaces［J］．Analysis in Theory and Applications，2008，24（4）：316－320．

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［8］ Piao Yongjie，Jin Yuanfeng．New unique common fixed results for four mappings withΦ－contractive type in 2－met－ric spaces［J］．Applied Mathematics，2012，3（7）：734－737．

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Unique common fixed points for two mappings with implicit contractive condition on 2－metric spaces

PIAO Yong－jie， SHEN Jing－hu
（Department of Mathematics，College of Science，Yanbian University，Yanji 133002，China）

A class of functions is introduced and an implicit contractive condition is considered，then the existent theorems of unique common fixed point for two mappings satisfying some conditions are proved and some their corollaries are given．The obtained results generalize and improve some known conclusions in references［3－9］．

class of functions；implicit contractive condition；coincident point；common fixed point；fixed point

O177．91

A

1004－4353（2012）03－0173－04

20120623 基金项目：吉林省教育厅科研项目（吉教科合字［2011］第434号）

朴勇杰（1962—），男，理学博士，教授，研究方向为非线性理论和分析学．