圆弧齿轮指形刀具齿形计算研究*

胡立志 赵家黎

(兰州理工大学机电工程学院，甘肃兰州 730050)

圆弧齿轮由于具有较高的承载能力，传动中啮合面易形成动压油膜，且具有良好的跑合性，因而，其应用和研究受到许多国家的重视。但由于圆弧齿轮历史很短，无论在理论研究上，或制造工艺方面，都还不及渐开线齿轮那样成熟［1］。

依据圆弧齿轮的传动理论和啮合原理，凡是加工渐开线齿轮的机床都可以加工圆弧齿轮，只是所采用刀具的齿形不同［2］。滚切法加工虽然效率较高，但滚刀制造难度大、成本高［3］。相对而言，指形铣刀制造简单、价格便宜，在大模数圆弧齿轮加工中很有价值，特别是指形铣刀还可以加工中间没有空刀槽的人字齿轮［4］。为此，本文从圆弧齿轮加工、啮合原理及齿面方程出发，对圆弧齿轮指形刀具齿形计算进行研究。

1 圆弧齿轮的啮合原理

1.1 线接触圆弧齿轮的啮合原理

圆弧齿轮共轭齿面的形成过程为:在平行轴传动中，利用一个斜齿条成形面形成一对线接触斜齿面共轭齿面，并利用圆心位于节线附近的圆弧作为斜齿条成形面的法向齿形，从而形成圆弧齿轮传动［5］。

如图1所示，设给定齿轮1、2传递等比转动，且齿条P(一个假想的公共齿条)的节平面和两齿轮的节柱面相切，并以齿轮节柱面上点的速度平移。在与两齿轮1、2固连的动坐标系O1、O2中，刀具齿条成形面P将分别形成齿面Σ1、Σ2，并以其两侧面同时切削齿面Σ1、Σ2，从而形成圆弧共轭齿面。

1.2 点接触圆弧齿轮传动原理

在平行轴传动中，利用彼此沿某一条线相切固连的两个斜齿条成形面可以形成点接触的共轭齿面。当两个斜齿条成形面的法向齿形是圆心位于节线附近的两条相切圆弧，就形成初始制造点接触圆弧齿轮传动。显然，线接触圆弧齿轮传动是点接触圆弧齿轮传动的一种特殊情况。

2 圆弧齿轮齿面方程的建立

2.1 圆弧齿轮的齿面方程

如图1所示，将斜齿条成形面方程从坐标系OP分别变换至与齿轮1、2固连的坐标系O1、O2中，并与共轭接触条件联立，即可求得齿轮1、2的齿面方程式。

凸齿齿轮齿面方程为

式中:ρa为凸齿齿廓圆弧半径;αa为凸齿压力角;β为螺旋角;ea为凸齿齿廓圆心偏移量。

凹齿齿轮齿面方程为

式中:ρf为凹齿齿廓圆弧半径;αf为凹齿压力角;β为螺旋角;ef为凹齿齿廓圆心偏移量。

2.2 待加工齿面的方程

如图2所示，建立待加工齿面方程的坐标系为O，使坐标轴x通过其齿槽对称轴。显然，如果采用指形刀具同时加工齿槽的两侧面，则必须使指形刀具的回转轴线和齿槽对称轴线相重合。此时，成形运动就是刀具和齿轮的相对螺旋运动，指形刀具的回转线形成了切削运动并构成了回转曲面。刀具回转曲面和齿轮齿面的瞬时接触线是一条空间曲线，这条接触线绕刀具回转就形成了刀具齿面。

设齿轮的齿面方程为

则齿面法线的标准方程为

因为接触点的法线和刀具回转轴线相交，所以法线和刀具回转轴线的交点(X，0，0)是法线上一点，代入式(3)得到

由式(4)可以解出:

将齿面接触点坐标(y，z)和求出的法线矢量投影ny、nz代入式(5)，即得到以曲线坐标u、v表示的共轭接触条件为

将共轭接触条件和齿面方程联立求解:

即得到齿面的瞬时接触线，这条接触线绕坐标轴回转，形成指形刀具齿面。

3 指形刀具轴面齿形方程

如图3所示，求指形刀具齿面的轴面齿形。

过接触线上一点M做垂直于坐标轴x的平面，该平面与刀具旋转齿面的截线是半径为rΦ的圆。

于是，指形刀具齿面上的轴面齿形坐标由下面方程组确定。

式(9)的轴向坐标x是以齿轮的圆心O为坐标原点，而一般指形刀具轴面齿形坐标以齿底为基准测量，坐标原点应移至齿轮齿根圆上。如图4，设齿轮齿根圆半径为rf，则在新坐标中，指形刀具轴面齿形坐标为

4 圆弧齿轮指形刀具齿形的计算

由螺旋齿面指形刀具齿形的普通公式出发，根据圆弧齿轮齿面方程式，进行圆弧齿轮指形刀具齿形的计算。圆弧齿轮的齿面方程为

这里取基本齿部圆心移距量e=0，即基本齿部圆弧圆心位于节线上，此时得到法向圆弧螺旋面。如图1所示，在计算指形刀具时应使x轴通过齿槽对称线，故加工凸齿应取N=πm/2+e，α为正值;加工凹齿时取N=e，α为负值。圆弧齿轮齿面方程的法线矢量投影为

将以上两式的y、z、ny、nz代入指形刀具与被加工齿面接触线应符合的共轭条件ynz－zny=0，化简后得到接触线上点的参数α和Φ的关系方程为

由前一因式，得到方程解为

显然，对现行基本齿廓参数此解不合理，应舍去。

对后一因式，设 sinΦ≠0、rΦcosβ －N≠0、cosα≠0，则解出:

上式即为圆弧齿轮指形刀具接触线上点的参数α和Φ应符合的条件。指形刀具齿形计算公式为

指形刀具齿形计算步骤为:首先给出参数α和Φ中的一个，然后由式(14)解出另一个。将它们代入式(11)，即可求得接触线上一个点坐标x和y，再代入式(15)即得到刀具齿形上的一点。

5 结语

从圆弧齿轮的加工方法出发，结合圆弧齿轮啮合原理和圆弧齿轮的齿面方程得出:

(1)回转曲面刀具齿形必须保证待加工齿面和回转刀具齿面之间接触线处各点的法线和刀具回转轴线相交;

(2)圆弧齿轮指形刀具齿形计算的通用公式;

(3)圆弧齿轮指形刀具齿形计算的一般步骤。

［1］张秀亲，邵佳辉.圆弧齿轮的诞生、发展及应用回顾［C］.第三届中日机械技术史国际学术会议，2002:353－357.

［2］卢贤缵.双圆弧齿轮滚切成形理论与滚刀设计［J］.机械传动，1979(1):44－51.

［3］戴玉堂，有贺幸则，等.圆弧齿线圆柱齿轮的数控滚切机理与试验研究［J］.中国机械工程，2006，17(7):706 －709.

［4］胡立志.圆弧齿轮盘形刀具齿形的计算［J］.兰州理工大学学报，2005，31(4):52 －54.

［5］邹雯.圆弧齿线圆柱齿轮的参数计算及选择［J］.机械设计与研究，2000(2):36－38.