关于q-gamma函数及对数导数的性质

赵教练

(渭南师范学院数学与信息科学学院，陕西渭南714000)

经典分析中的Gamma函数是一类特殊的函数，是由L.Euler在18世纪推广自然数的阶乘时给出的，常被称为第二类Euler积分，定义如下：

关于Gamma和q-gamma函数研究成果很多也很重要，它们在分析、数论、特殊函数论、数学物理方法等领域中都起着关键的作用［6-7］.本文在此基础上，将给出q-gamma的一些新的性质.

1 主要引理

为了证明所给的结论，需要以下两个引理：

引理1 对于给定的x＞0，有以下恒等式

证明 以上各恒等式很容易从定义中直接推出.

引理2 给定x∈［0，1］，q∈(0，1)并且0 ＜s＜1，我们有以下不等式成立

当0 ＜q＜1，x∈［0，1］，0 ＜s＜1，我们可以得到 ψq(x+1)－ ψq(x+s) ＞0.

2 定理及其证明

定理1 给定x∈［0，1］，q∈(0，1)并且0 ＜s＜1，我们有以下恒等式成立

另一方面，由引理中第四式两边求导，比较上式可以证明所要的结论.

定理2 对于0＜q＜1，我们可以给出Gamma之商的一个不等式的q模拟，即

由上式计算的结果，根据引理1的结论，我们可以判断g'(x)＞0，也就是得到g(x)是区间［0，1］上的单调递增函数.所以f(x)也是区间［0，1］上的单调递增函数，那么对于f(x)就有f(0)＜f(x)＜f(1)，也就是

［1］Artin E.The Gamma function［M］.New York：Toronto，1964.

［2］Jensen J，Gronwall T.An elementary exposition of the theory of gamma function The Ann［J］.1916，17(3)：124 －166.

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［7］Andrews G，Askey R，Roy R.Special Functions［M］.New York：Cambridge University Press，1999.

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