一类半群的结构

刘心驰

(渭南师范学院数学与信息科学学院，陕西渭南714000)

半群代数理论是代数学的一个分支.自半群的系统研究至今，半群及其子类的研究一直是半群理论研究中的一个热点.它的研究受到越来越多人的关注.半群代数理论十分丰富，它的思想和方法已经渗透到自然学科的许多领域，有许多文献专门研究半群的性质和结构，得到了许多重要结果［1－3］.本文给出一类半群的性质和结构，结合学习研究内容，也给出了此类半群的一个实例.

1 预备知识

设S是非空集合，在S上定义二元运算“·”，如果∀a，b，c∈S，(a·b)·c=a·(b·c)，则称(S，·)为半群.例如，全体正整数的集合N连同普通的整数加法运算作成一个半群(N，+).

设(S1，·)与(S2，⊗)都是半群，φ 是 S1到 S2的一个映射，如果 ∀a，b，c∈ S，φ(a·b)= φ(a) ⊗φ(b)，则称φ是S1到S2的一个同态映射，若φ还是一一映射，则称φ是S1到S2的一个同构映射，这是称半群(S1，·)与(S2，⊗)是同构的.

在半群(S，·)中，我们可以简单地记为S，而省略运算符号“·”，并且在运算式中用ab表示a·b，这样an就表示n个a连续作半群运算“·”的结果，读作a的n次幂，显然，在一个半群中，aman=am+n，(am)n=amn.

设S是半群，T是半群的非空子集，如果对于∀a，b∈T，有ab∈T，则称T是S的子半群.

设A是S的一个非空子集，S中所有包含A的子半群的交集记为〈A〉，则〈A〉是S的子半群［1］，显然〈A〉有下列性质：

(1)A⊆〈A〉，

(2)若S1是S中包含A的子半群，则〈A〉⊆S1.

我们称〈A〉是S的由A生成的子半群.若S=〈A〉，则称半群S是由A生成的，特别地，当A={a}时，记为S=〈a〉，S是由元素a生成的，称S为单演半群.

2 主要结果

定理1 设S=〈a〉，如果 ∀m，n∈N，a∈S，am=an⇒m=n，则S=〈a〉同构于半群(N，+).

证明 由于 ∀m，n∈N，am=an⇒m=n，

显然φ是S到N的一一映射，并且aman=am+n→m+n，即φ(aman)=m+n=φ(am)+φ(an)，所以φ是S到N的同构映射，因此S=〈a〉与半群(N，+)同构.

定理2 设S=〈a〉，如果存在x，y∈N(x≠y)，使得ax=ay，则存在r，t∈N，有：① 当0 ＜ p＜ r时(p∈N)，对任意q∈N，(q≠p)，aq≠ap.② 当p≥r时，存在p1∈N，r≤p1≤r+t－1，使得ap=ap1.

证明 ① 设X={x∈N|存在y∈N，ax=ay，x≠y}，由已知条件知X非空，依最小数原则，X中必有最小数，记为r，这时若0 ＜p＜r，则p∉X，依X的定义可知对任意q∈N(q≠p)，aq≠ap.

② 记Y={x∈N|ar+x=ar}，由于r∈X，所以Y非空，Y也有最小数，记为t，这时，ar=ar+t=arat=ar+tat=ar+2t，这样，对q≥0，ar=ar+qt，依Y 的定义，a1，a2，a3，…，ar，ar+1，…，ar+t－1是互不相同的，当 p≥r时，依带余除法［4］，p=r+qt+u，q≥0，0 ≤ u ≤ t－ 1，则 ap=ar+qt+u=ar+qtqu=arau=ar+u，由于0 ≤u≤t－1，所以r≤ r+u≤r+t－1，取 p1=r+u，则 ap=ap1.

由此可以看出半群 S= 〈a〉是一个有限半群，它的全部元素为{a，a2，a3…，ar，ar+1，…，ar+t－1}，共有 r+t － 1 个，即 S= 〈a〉={a，a2，a3…，ar，ar+1，…，ar+t－1}.

设 B={α，α1，α2，α3，α4，α5，α6}，容易验证，当 p ＞ 6 时，存在4 ≤ q≤6 使得 αp= αq，B 是由 α 生成的一个有限半群，B=〈α〉.

(指导老师：朱天民)

［1］Howie M.Fundamentals of semigroup theory［M］.Oxford：Oxford University Press，1995.

［2］Gratzer G.Unversal algebra［M］.New York：Springer-wriag，1979.

［3］Petrich M，Reilly N.R.Completely regular semigroups［M］.New York：wiley，1999.

［4］闵嗣鹤，严士建.初等数论［M］.北京：高等教育出版社，2008.

［5］赵雨清.单演半群的几条性质［J］.湘潭师范学院学报(自然科学版)，2004，26(1)：20－21.