双曲函数有理式的积分

薛利敏

(渭南师范学院数学与信息科学学院，陕西渭南714000)

双曲函数是通过指数函数y=ex和y=e－x来定义的［1－2］.双曲正弦：sinh x，双曲余弦：cosh x与定义三角函数中的正切、余切、正割和余割相同，我们定义双曲正切：tanh x，双曲余切：coth x，双曲正割：sech x和双曲余割反双曲正弦：y=arcsinh x=ln(x，反双曲余弦：y=arccosh x=ln(x，反双曲正切：y=arctanh x=

双曲函数与三角函数有许多相类似的性质、恒等式、微分和积分公式［3－4］：

双曲函数有许多应用.悬链线是由双曲函数定义的.在求不定积分时，有双曲函数代换法［5］.用双曲函数可以求解微分方程［5－7］.在物理学等众多领域可找到丰富的实际应用［8］.

有关双曲函数的不定积分问题，现行教材和资料介绍讨论得很少，下面我们就探讨有关双曲函数有理式的不定积分问题.

1 双曲函数有理式的积分

所谓双曲函数有理式是指由双曲函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数.由于各种双曲函数都可用双曲正弦sinh x和双曲余弦cosh x的有理式表示，因此，双曲函数有理式也就是sinh x和cosh x的有理式，记作R(sinh x，cosh x)，其中R(u，v)表示u和v两个变量的有理式.

1.1 间接积分法

定理 双曲函数有理式R(sinh x，cosh x)的原函数都是初等函数.

故双曲函数有理式的原函数都是初等函数.

证法2 设ex=t，(指数代换).因为

显然，解法2的指数代换比解法1的万能代换麻烦.

从解题过程我们得知，解法1的万能代换比解法2的指数代换麻烦.

1.2 直接积分法

例3 求不定积分∫sinh2xdx.

2 结论

其实，双曲函数与三角函数有许多相似之处，因此，有关双曲函数有理式的积分问题可以借鉴三角函数有理式的积分方法来解决.

［1］同济大学数学系.高等数学：上册［M］.第6版.北京：高等教育出版社，2007.17－20.

［2］辛小龙.高等数学［M］.西安：西北大学出版社，2009.12－13.

［3］陈兰.圆函数与双曲函数［J］.青海民族师专学报，1999，(1)：56 －59.

［4］薛利敏.高等数学［M］.北京：教育科学出版社，2011.47.

［5］连坡.巧用换元积分法一题九解［J］.高等数学研究，2011，(6)：11 －12.

［6］刘继合.双曲函数与微分方程求解［J］.淄博学院学报(自然科学与工程版)，2001，(3)：11－14.

［7］叶健芬，蔡桂平，虞凤英.利用双曲函数法研究非线性方程的行波解［J］.温州师范学院学报(自然科学版)，2006，(2)：1－4.

［8］翁建平，沈世耀.双曲函数在物理学领域中的应用［J］.乐山师范学院学报，2004，(5)：30－33.