解读数学思想方法在高考中的考查亮点

☉江苏省大丰高级中学 裴柏顺

解读数学思想方法在高考中的考查亮点

☉江苏省大丰高级中学 裴柏顺

数学思想与数学方法是数学的灵魂与精华.考纲明确要求：“通过对数学知识的考查，反映考生对数学思想方法的理解；要从数学的整体意义和思想价值立意，有效的检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想方法的掌握程度.”笔者通过对近些年高考试题的研究发现，高考命题专家不再追求知识点的全面覆盖，但致力于数学思想方法的全面考查.下面笔者以近两年湖北数学高考文科试题为材料，具体为您解读“数学思想方法”在高考中的考查.

一、数形结合思想

数形结合思想就是通过“以形助数，以数析形”，能够变抽像思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质.

解读：本题的实质是考查三角函数的图像，利用三角函数图像解三角不等式.

解读：本题考查直线与半圆有公共点问题，作出图像找出临界状态，从而分别求出b的值.其本质还是通过数形结合思想找交点问题.

点评：数形结合思想是解决数学问题的一种最常用的方法与技巧，在解决选择、填空题中发挥奇效.事实上每年的高考，以数形结合思想为解题突破口的试题总占有一席之地.

二、函数与方程思想

函数思想指的是：研究变量中的数量关系，建立函数关系式或构造函数，运用函数的图像与性质去分析、转化问题，从而使问题获得解决的方法.

方程思想指的是：分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，通过解方程或方程组去解决问题的方法.此外函数、方程及不等式三者一体，能够相互转化，在解题过程中，要随机转化以达到解决问题的目的.

例3 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时.研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数.

（1）当0≤x≤200时，求函数的表达式.

（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数（单位：辆/小时）f（x）=x·v（x）可以达到最大？并求出最大值.（精确到1辆/小时）

解读：本题的实质是先建立函数关系式，再利用相应函数的图像与性质求出最值.

点评：函数与方程思想是中学数学最基本的，也是最重要的思想，是每年高考的重点.

三、分类讨论思想

分类讨论思想的本质是：化整为零，各个击破，再积零为整的一种数学策略.高考中的压轴题往往难在所给的问题不能进行统一的研究，需要按某个标准分类，再一一分类予以解决.

例4平面内与两定点A1（-a，0）、A2（a，0）（a＞0）连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹.A1、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线.求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系.

解读：本题先求得圆锥曲线方程，再对参数m讨论，分别得到相应的圆锥曲线的形状.

点评：从近年高考试题来看，压轴题总是伴随着分类讨论.

四、化归与转化思想

化归与转化思想的本质是：揭示联系，实现转化.每个数学问题的解决就是从未知向已知转化的过程.化归与转化思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程.比如从未知到已知的转化，复杂到简单的转化，特殊与一般的转化等.

例5 在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期，从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为________.

解读：本题采用“正难则反”方法，将问题转化为求任取2瓶都没有过保质期的概率.

高考中常考的数学方法有：消元方法，换元方法，特值方法，引入直角坐标系方法等.

五、消元方法

研究方程的一个基本功能是消元，消元可以减少未知数的个数，简化问题.

例6 若定义在R上的偶函数f（x）和奇函数g（x）满足f（x）+g（x）=ex，则g（x）=（ ）.

解读：本题考查奇偶性的定义与性质，但问题的最终解决是运用消元思想，要想求得g（x）的解析式，必须消去f（x）.

点评：学生最怕多变量了，消元方法的强大功能在于能减少未知数的个数，正好能解学生的“燃眉之急”.

六、换元方法

换元的目的是化陌生为熟悉，化复杂为简单.许多含根号的不等式、指数不等式的求解都是换元后转化为常规不等式解决的.

点评：要注意换元后挖掘新元的范围.

七、特值方法

特值法是实现“小题小解”、“小题巧解”的常用方法.这种方法不需要正面的推理与求证，只需检验是否满足题意，能优化不少思维量与运算量.

例8 记实数x1，x2，…，xn中的最大数为max{x1，x2，…，xn}，最小数为min{x1，x2，…，xn}.已知△ABC的三边长为a、b、c（a≤b≤c），定义它的倾斜度为

则“t=1”是“△ABC为等边三角形”的（ ）.

A，充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

解读：这是一个必要不充分条件.在推导不充分时，只需举个反例即可.如a=3，b=4，c=5.

点评：基本上每年都有能使用特值法去解决的客观题，学生如果能灵活使用特值法能省时省力.