利用三次函数图像 破解高考导数试题

☉湖北省襄阳市第五中学 谢 伟

☉湖北省襄阳市第四中学高中部 王 丹

利用三次函数图像 破解高考导数试题

☉湖北省襄阳市第五中学 谢 伟

☉湖北省襄阳市第四中学高中部 王 丹

与三次函数有关的问题是历年高考命题的热点，三次函数的图像是三次函数性质的直观反映，借助函数图像，可以直观地研究对应函数的性质.本文以近年与三次函数有关的高考试题为例，分析如何结合三次函数的图像解决这类问题．

一、求解单调区间和极值点的问题

例1（2012年重庆文17）已知函数f（x）=ax3+bx+c在x=2处取得极值为c－16．

（1）求a、b的值.

（2）若f（x）有极大值28，求f（x）在［-3，3］上的最小值．

解析：（1）a=1，b=－12（过程略）；

（2）f′（x）=3x2－12．令f′（x）=0，得x=±2．当x∈（－3，－2）∪（2，3）时，f′（x）＞0，当x∈（－2，2）时，f′（x）＜0，f（x）在（－3，－2）和（2，3）上递增；f（x）在（－2，2）上递减．结合图1知，f（x）在［-3，3］上的最大值是f（－2）和f（3）中的较大者，即最大值为f（－2）=c+16=28，即c=12．由于f（x）在［-3，3］上的最小值是f（-3）和f（2）中的较小者，因此，最小值为f（2）=－4．

评注：本题利用三次函数的图像，直观揭示了函数在区间内的单调性与极值，并能够便捷地确定函数f（x）在［－3，3］内的最大值和最小值．这样能够快速解题，避免出错．

图1

二、分析两个函数交点个数的问题

例2 （2012年全国理10）已知函数y=x3－3x+c的图像与x轴恰有两个公共点，则c＝（ ）.

A.－2或2 B.－9或3

C.－1或1 D.－3或1

解析：依题设，方程x3－3x=－c有两个不等实根．设f（x）=x3－3x，则f′（x）=3x2－3，令f′（x）=0，得x=±1.当x∈（－∞，－1）∪（1，+∞）时，f′（x）＞0；当x∈（－1，1）时，f′（x）＜0.即f（x）在（－∞，－1）和（1，+∞）上递增，在（－1，1）上递减，极大值是f（－1）=2，极小值是f（1）=－2．结合图2可知，若f（x）=x3－3x和y=－c的有两个交点，则c=±2时．选A．

图2

评注：本题转化为求解函数f（x）=x3－3x和y=－c的图像有两个交点时c的值．观察图像可知，y=－c经过曲线的极值点时，两个函数图像有两个交点．利用图像解题思路清晰，容易理解.

三、解决含参数函数的讨论的问题

例3（2012年北京理18）已知函数f（x）=ax2+1（a＞0），g（x）=x3+bx.

（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a、b的值.

（2）当a2=4b时，求函数f（x）+g（x）的单调区间，并求其在区间（－∞，－1］上的最大值．

解析：（1）a=3，b=3（过程略）.

图3-1

图3-2

图3-3

评注：本题结合图像可知，按照－1与x1和x2之间的大小关系分3类讨论，结合图像有助于便捷地找到分类讨论的标准，使得分类清楚、条理清晰，为解决问题提供了方便．

四、研究与导数有关的其他问题

例4 （2010年天津文20）已知函数f（x）=ax3－1.5x2+1（x∈R），其中a＞0．

（1）若a=1，求曲线f（x）在（2，f（2））处的切线方程.

（2）若在区间［－0.5，0.5］上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．

解析：（1）y=6x－9.

图 4－1

图 4－2

高考导数试题除了考查三次函数的相关问题以外，还考查运用导数解决其他函数的有关问题，我们同样可以利用函数图像便捷地解决这类问题．

解析：（1）f′（x）=x（4x2－10x+4）．令f′（x）=0，得x1=0，x2=0.5，x3=2．当x∈（－∞，0）∪（0.5，2）时，f′（x）＜0；当x∈（0，0.5）∪（2，+∞）时，f′（x）＞0，如图5中C1.f（x）在（0，0.5）和（2，+∞）上递增，在（－∞，0）和（0.5，2）上递减．

图5

评注：本题涉及四次函数的单调性和最值，在四次函数的导函数对应的方程有三个不同实根的条件下，若四次项系数大于0，则图像呈单峰双谷的W型；若四次项系数小于0，则图像呈双峰单谷的M型．当导函数对应方程的根的情况变化时，单调性、极值和最值会随之变化．

如果我们能够熟练掌握三次函数的图像，充分运用数形结合的数学思想，就能够准确快速地解题，破解相关导数试题．同时也能够用类似的方法研究其他函数的的相关问题．