研题因反思而升华，编题因创新而精彩——2011年扬州市中考压轴题引发的思考

☉江苏省高邮市武安初中 赵友忠

研题因反思而升华，编题因创新而精彩
——2011年扬州市中考压轴题引发的思考

☉江苏省高邮市武安初中 赵友忠

“研题因反思而升华，编题因创新而精彩”，对于中考题的研究可以更好地弄清楚命题者的意图.在平时的教学中，我们一线教师要有意无意地对中考题进行深刻的研究.笔者在认真研读扬州市中考压轴题第28题之后，将自己的感受总结如下.

一、中考试题展示

（2011年扬州市中考题第28题）在△ABC中，∠BAC=90，AB＜AC，M是BC边的中点，MN⊥BC交AC于点N.动点P从点B出发沿射线BA以每秒厘米的速度运动.同时，动点Q从点N出发沿射线NC运动，且始终保持MQ⊥MP.设运动时间为t秒（t＞0）.（1）△PBM与△QNM相似吗？以图1为例说明理由（.2）若∠ABC=60，AB=4厘米.①求动点Q的运动速度；②设△APQ的面积为S（平方厘米），求S与t的函数关系式；（3）探求BP2、PQ2、CQ2三者之间的数量关系，以图1为例说明理由.

图1

图2（备用图）

二、试题答案展示

图3

图4

（3）PQ2=BP2+CQ2.理由如下：如图3，延长QM至D，使MD=MQ.连接BD、PD.因为BC、DQ互相平分，所以四边形BDCQ是平行四边形.所以BD∥CQ.因为∠BAC=90°，所以∠PBD=90°.所以PD2=BP2+BD2=BP2+CQ2.因为PM垂直平分DQ，所以PQ=PD.所以PQ2=BP2+CQ2.

三、试题价值分析

（一）试题的概述

本题以三角形为背景，相似为纽带，动态为风向标，全面考查了学生的综合素质能力；题目的设置遵循了从一般到特殊的原则，题目的探究始终围绕△PBM与△QNM相似，从“探究相似——运用相似性质构造方程——根据得到结论解决问题”，每个问题之间环环相扣；注重数学思想的渗透，引导学生从P点运动位置的变化引发分类.

（二）试题解题思路的探究

解决解答题的时候审题是关键，而条件中的关键词又是审题的关键.本题主要抓住点P、Q都是在射线BA与射线NC上运动，而我们在研究的过程中不能同时关注两个动点，那么我们就要分清主动点与次动点，次动点是随着主动点的变化而变化的；再根据射线这个关键词研究主动点P点的位置变化情况.通过研究发现可以分成以下两类：（1）在线段BA上；（2）在线段BA的延长线上.阅卷过程中发现问题“②设△APQ的面积为S（平方厘米），求S与t的函数关系式”的解决学生的错误率非常高，主要原因是学生没有通过射线这个关键词进行分类思想的灵活应用.

【错误答案展示】

（三）审清各个探究问题之间的关系

【错误答案展示】

【正确答案展示】

（3）PQ2=BP2+CQ2.理由如下：如图3，延长QM至D，使MD=MQ.连接BD、PD.因为BC、DQ互相平分，所以四边形BDCQ是平行四边形.所以BD∥CQ.因为∠BAC=90°，所以∠PBD=90°.所以PD2=BP2+BD2=BP2+CQ2.因为PM垂直平分DQ，所以PQ=PD.所以PQ2=BP2+CQ2.

四、中考题试题改编的探究

（一）试题改编的总体意见

试题的呈现过程中应该关注学生的学情，应该要精心打造题目的陈述语言及方式，不要给学生带来不必要的障碍与歧义.

（二）关于“结论”的变式探究

1.探究与△PQM相关的问题

改编题1. 在△ABC中，∠BAC=90°，AB＜AC，M是BC边的中点，MN⊥BC交AC于点N.动点P从点B出发沿射线BA运动.同时，动点Q从点N出发沿射线NC运动，且始终保持MQ⊥MP.（1）△PBM与△QNM相似吗？以图5为例说明理由.（2）△PQM与△CNM相似吗？请说明理由.（3）当PM与AC满足什么条件时，△PQM的面积最小？请说明理由.

图5

图6（备用图）

【设计意图】第（2）问将△PBM与△QNM的两组边成比例转化成△PQM与△CNM中的两组对应边成比例；注重了转化的数学思想的考查，而这种平时平时的教学过程强化过，学生解决起来难度不是很大；第（3）问在第（2）问的基础根据相似三角形“两个三角形的面积之比是相似比的平方”可以知道，△CNM的面积是个定值，要想△PQM面积最小就要△PQM与△CNM相似比最小，相似比最小就转化成线段QM最小，然后根据垂线段最短确定具体的位置，然后求出此位置的相关数据.

2.探究与四边形APMQ相关的问题

图7

改编题2.如图7，在△ABC中，∠BAC=90°，AB＜AC，M是BC边的中点，MN⊥BC交AC于点N.动点P从点B出发沿射线BA以每秒厘米的速度运动.同时，动点Q从点N出发沿射线NC运动，且始终保持MQ⊥MP.设运动时间t秒（t＞0）（.1）△PBM与△QNM相似吗？以图5为例说明理由（.2）若∠ABC=60°，AB=4厘米.①求动点Q的运动速度；②如图7，取PQ的中点O，连接AO、MO，我们通过“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”可以证明OA=OQ=OM=OP，这样我们就可以发现A、P、M、Q四点的圆始终在同一个圆上，在P、Q两点运动的过程中，我们发现⊙O的位置与大小都在发生变化，试探究当t为何值时，⊙O的面积最小，并求出最小面积.

【设计意图】研究△APQ的面积S与t的关系有些牵强，只能算是考查了列二元一次函数，而且对于得到函数没有进行后续的研究，后面出现的第（3）问有些唐突，还不如就避开讨论△APQ的面积，转化成讨论四边形APMQ；设计的问题通过叙述证明四点共圆的过程，让学生感受到⊙O的存在性，从而根据变化中不变量点A、M确定圆的最小值；再求时间t的过程时，在Rt△APQ中运用勾股定理构造关于t的方程，又考查了学生在研究动态问题时如何对变量进行表达.