寻找知识的钥匙——浅谈一次函数的考点

☉江西省石城县实验学校 曾令传

寻找知识的钥匙
——浅谈一次函数的考点

☉江西省石城县实验学校 曾令传

函数内容是初中数学的重点知识，也是我们解决一些实际问题的重要工具.而一次函数是中学生首次接触的函数知识，是后面反比例函数、二次函数学习的基础，而且与二元一次方程式以及不等式的关系密切，所以成为了中考命题的热点，在中考中的比重呈上升趋势.它作为一种数学模型，在日常生活中有着非常广泛的应用.新课标要求学生掌握一次函数的概念及图像；掌握一次函数的性质，并能求解有关实际问题；会用待定系数法求一次函数的解析式.下面我们针对学生如何学好一次函数进行分析.

一、充分理解一次函数的概念

如假设有两个变量：z和y，并且对于z的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把z称为自变量，把y称为因变量，y是z的函数．如果y=kx+b（b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数.

解析：根据一次函数的概念可知，在求自变量的取值范围的问题中，要求分母不等于零及被开方数大于等于零是解决此类问题的切入点.由分母1－3x≠0，得x≠，故应填x≠.

二、学会利用一次函数的图像与性质

一次函数利用了数形结合思想和化归思想，对于学生而言，要想学会一次函数，一定要学会利用一次函数的图像和性质.

例2 （2012年山西省）如图1，一次函数y=（m-1）x-3的图像分别与x轴、y轴的负半轴相交于A、B，则m的取值范围是（ ）.

A.m＞1 B.m＜1 C.m＜0 D.m＞0

解析：本题主要考查了一次函数图像与系数的关系及数形结合思想，解决本题的关键是熟悉一次函数性质.因为函数图像经过二、四象限，所以m-1＜0，解得m＜1.故选B.

例3（2012年陕西省）在同一平面直角坐标系中，若一次函数y=与y=x-1的图像交于A点，则点A的坐标为（ ）.

图1

A.（-1，4）B.（-1，2）

C.（2，-1）D.（2，1）

三、学会判定一次函数解析式

例4（2012年湖南省衡阳市）如图2，一次函数y=kx+b的图像与正比例函数y=2x的图像平行且经过点A（1，-2），则kb=________.

解析：本题考查的是一次函数的解析式，解题关键在于根据两平行直线得解析式的k值相等，求出k确定的值.然后把点A的坐标代入解析式求出b的值，再代入代数式进行计算即可.

因y=kx+b的图像与正比例函数y=2x的图像平行，所以k=2.

又y=kx+b的图像经过点A（1，-2），所以2+b=-2，解得b=-4.

所以kb=2×（-4）=-8.

图2

四、了解一次函数与方程（组）、不等式的关系

例5 （2012年湖北省恩施市）如图3，直线y=kx+b经过A（3，1）和B（6，0）两点，则不等式0＜kx+b＜x的解集为________.

解析：本题考查了一次函数的图像与一元一次不等式（组）的关系.解题关键是运用数形结合的思想.这种类型的题一般不需要直接解不等式（组），只要找准两个图像的交点坐标，问题即可迎刃而解.过点A（3，1）和原点的直线表达式为y=x，即直线y=kx+b和y=x交点为A，由图像知当x＜6时，y=kx+b的值大于0，即0＜kx+b，当x＞3时，y=kx+b的值小于y=x的值，综上所述，3＜x＜6是不等式0＜的解集.

图3

五、注重一次函数的实际应用

例6（2012年湖北省荆州市）荆州素有“中国淡水鱼都”之美誉.某水产经销商在荆州鱼博会上批发购进草鱼和乌鱼（俗称黑鱼）共75千克，且乌鱼的进货量大于40千克.已知草鱼的批发单价为8元/千克，乌鱼的批发单价与进货量的函数关系如图4所示.

（1）请直接写出批发购进乌鱼所需总金额y（元）与进货量x（千克）之间的函数关系式；

（2）若经销商将购进的这批鱼当日零售，草鱼和乌鱼分别可卖出89%、95%，要使总零售量不低于进货量的93%，问该经销商应怎样安排进货，才能使进货费用最低？最低费用是多少？

解析：解决函数图像有关的实际问题时，首先观察两坐标轴表示的意义，其次观察图像，可得此函数图像分为两段，所以是一个分段函数，写自变量的取值范围时观察实心圆点和空心圆圈.在利用函数进行方案设计时，要注意关键词语“共、大于、不低于、费用最低”等关键词语，以列方程、函数、不等式，从而帮助求解.

图4

（2）设该经销商购进乌鱼x千克，则购进草鱼（75－x）千克，所需进货费用为w元.

因为16＞0，所以w的值随x的增大而增大.

答：该经销商应购进草鱼25千克，乌鱼50千克，才能使进货费用最低，最低费用为1400元.

一次函数与其他知识链接比较多，如方程和不等式等，并且还很抽象，不容易理解，对于学生来说，学习上难度较大.针对这种情况，教师在实际教学中，应结合学生的心理特点，对教学内容综合设计，引导学生观察、比较、思考，是学生乐学，进而提高课堂教学效率.