☉湖北省浠水县实验中学 饶金华
中考试题涉及众多知识点,覆盖面广,关系复杂,证法灵活,解决这类考题需要考生能够正确地综合运用数学解题思想和方法,以下是中考中几种常用的解题思想,供大家参考.
注意力和着眼力放在问题的整体上,通过研究问题整体形式和整体结构,进而作出整体处理,达到顺利解题的目的.
例1 如图1所示,分别以n边形的顶点为圆心,以单位1为半径画圆,则图中阴影部分的面积之和为______个平方单位.
解:由条件可知图中每个扇形的面积不能单独求出,因为不知圆心角的度数.仔细分析可得n个扇形的圆心角恰为n边形的n个因此,n个扇形的圆心角的度数和为n边形的外角和.所以阴影部分的面积之和π.
化归思想是一种由陌生向熟悉转化,由未知向已知转化,又非基本问题向基本问题转化的解题策略.
例2 判断下列数3555、4444、5333的大小关系是______.
分析:直接计算每个数显然复杂难以比较,如果将它们化归为异底数同次幂的形式,然后比较底数的大小即可解决问题.
解:3555=(35)111=243111,4444=(44)111=256111,5333=(53)111=125111.
即5333<3555<4444.
分类讨论是重要的数学思想,解答这类题不仅要求学生有扎实的基础知识,还要求学生具有灵活运用数学思想方法的能力.在对数学对象进行分类中寻求解答的一种解题思想方法.其目的在于克服思维的片面性,防止漏解.
例3 如图2,在直径为50cm的圆中,弦AB=40cm,弦CD=48cm,且AB∥CD.求AB与CD间的距离.
分析:由圆的对称性,可知两条弦的位置会出现两种情况.
图2
图3
解:作OE⊥AB,垂足为E,OE交CD于点F.
因为AB∥CD,所以OF⊥CD.
连接OA、OC.
(1)当AB和CD位于点O的同侧时(图2),AB与CD间的距离为:
(2)当AB和CD位于点O的异侧时(图3),AB与CD间的距离为:
所以AB与CD间的距离是8cm或22cm.
数形结合思想是指将数(量)与(图)形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思想策略.有关函数及其图像的题目,多数用数形结合思想解答.
图4
例4 如图4,平面直角坐标系中,四边形OABC为矩形,点A,B的坐标分别为(4,0),(4,3),动点M,N分别从O,B同时出发.以每秒1个单位的速度运动.其中,点M沿OA向终点A运动,点N沿BC向终点C运动.过点M作MP⊥OA,交AC于P,连接NP,已知动点运动了x秒.
(1)P点的坐标为(______,______)(用含x的代数式表示).
(2)试求△NPC面积S的表达式,并求出面积S的最大值及相应的x值.
(3)当x为何值时,△NPC是一个等腰三角形?简要说明理由.
解:(1)由题意可知C(0,3),M(x,0),N(4-x,3).
(2)设△NPC的面积为S,在△NPC中,NC=4-x,NC边上的高为,其中0≤x≤4.
(3)如图5,延长MP交CB于Q,则有PQ⊥BC.
①若NP=CP.
③若CN=NP,则CN=4-x.
在Rt△PNQ中,PN2=NQ2+PQ2.
图5
小结:数学思想方法还有很多,比如方程思想,它是指对所求数学问题通过列方程(组)求解的一种解题思想,是解几何问题的重要策略.这类题目很常见,需要同学们去多观察、多动脑、多实践.