学会逆向运用『幂的运算性质』

☉河南省新乡市第十中学 魏秋菊

幂的运算有四个性质，即同底数幂的乘法性质、幂的乘方性质、积的乘方性质和同底数幂的除法性质.它们是整式乘法的基础和主要依据，四个运算性质反过来也是成立的，在解题时能正反灵活地运用幂的运算性质，会给解题带来很大的帮助.

一、同底数幂的乘法公式的逆向运用

逆用同底数幂的乘法法则，可以把一个幂分解成两个（或两个以上）同底数幂的积.用式子表示为：am+n=am·an（m，n都是正整数）.其中，拆分所得的（两个或两个以上）同底数幂的底数与原来幂的底数相同，指数之和等于原来幂的指数.

例1 若5m=x，5n=y，则5m+n+3=_________.

分析：注意到已知式与未知式之间的底数是相同的，而指数存在着和的关系，于是，逆用法则进行计算.

解 ：5m+n+3=5m·5n·53=125xy.

二、幂的乘方运算性质的逆向运用

例2 若a=2555，b=3444，c=5333，d=6222，试比较a、b、c的大小.

分析：只要将这几个数化为同指数或同底数进行比较即可，而各个指数均是111的倍数.

解：a=2555=（25）111=32111；

b=3444=（34）111=81111；

c=5333=（53）111=125111；

d=6222=（62）111=36111.因为32＜36＜81＜125，所以a＜d＜b＜c.

三、积的乘方运算性质的逆向运用

积的乘方性质反过来用式子表示为：an·bn=（ab）n（n是正整数）.要准确把握式子的特点，具备能转化为相同指数的幂的积的式子能应用这一法则，如.灵活地正、反使用本法则可以简化计算.

例3 计算（-0.125）2005·82007.

分析：当底数间互为倒数时，通常逆用“积的乘方的运算性质”，灵活整合，使得它们的指数相同，使指数都化为2005，这样就会使运算过程变得简便，也会使运算结果变得较为简单.

四、同底数幂的除法公式的逆向运用

逆用同底数幂的除法法则，可以把一个幂分解成两个（或两个以上）同底数幂的商.用式子表示为：am－n=am÷an（m，n都是正整数）.其中，拆分所得的（两个或两个以上）同底数幂的底数与原来幂的底数相同，指数之差等于原来幂的指数.

例4 已知am=9，an=27，求a3m－2n的值.

分析：将指数相减恢复为幂的除法，将指数相乘恢复为幂的乘方.

解：a3m－2n=a3m÷a2n=（am）3÷（an）2=93÷272=36÷36=1.

五、幂的运算性质综合运用

例5 已知ax=2，ay=5，求a3x-2y的值.

分析：该题可先将同底数幂除法性质反过来运用后得到a3x-2y=a3x÷a2y，这时再将幂的乘方性质逆用一次，得到a3x-2y=a3x÷a2y=（ax）3÷（ay）2，再代入已知条件就可求出所求代数式的值.

例6 若整数N=2m×58是一个11位数，试探求m的所有可能取值.

分析：用一个具体的数字代入显然是不可取的，应把58设法转化为108即可.

解：N=2m×58=2m－8×2m×58=2m－8×2×（）

58=2m－8×108，要使整数2m－8×108是一个11位数，只要使2m－8是一个三位数即可，而27，28，29都是三位数，所以m-8的值为7，8，9.所以m的值为15，16，17.

点评：本题灵活运用了积的乘方的逆向运用及同底数幂的乘法的逆向运用，使题目化繁为简，化难为易，收到事半功倍的效果.