三角函数探索题的类型及其解法

☉江苏省宿迁青华中学 杨 兵

三角函数问题中的探索题，是指命题中缺少一定的条件或未给出明确的结论，需要经过推断、补充并加以证明的问题.由于这类问题的知识覆盖面大，综合性强，方法灵活，再加上题意新颖，要求学生具有扎实的基础知识和较高的数学能力，从而使三角函数探索题成为各种考试的一种常见题型.

一、条件探索题

条件探索题，即给出问题的结论，但没有给出题目的条件，要求给出或补充使问题结论成立的条件.解这类题采取的策略是执果索因，首先要从结论出发，考虑结论成立时所要满足的条件，再结合图形及其性质逆向推导，寻找出所求条件.

分析：把条件①变形，判断是否成立，然后根据化简的结果，修改条件.

解：先判断条件①是否成立.

说明：条件探索题涉及的知识较多，综合性强，且是“逆向思维”，解此类问题需要有扎实的基本功及灵活处理问题的能力.

二、结论探索型

结论探索题的基本特征是给出条件而无结论或结论的正确与否需要确定.解此类题通常先假设其结论存在，再进行计算、推理，如果推导出符合条件的结论，则表示结论存在；若推出矛盾的结果，则结论不存在.

说明：本题要求找到三个数的关系，并说明理由，对思维能力要求较高，突出了对探索、归纳、推理能力的考查.

三、规律探索型

规律探索题的基本特征是给出若干图形及图形的变化规律等，需探索发现有关对象所具有的规律性或不变性的结论.通过观察、归纳、类比、分析等思维方法，概括出一般规律或结论，然后再给出证明.

例3 设n∈N*，且sin x+cos x=-1，能否求出sinnx+cosnx的值？

分析：本题是与正整数有关的命题，可以先用不完全归纳法探索结果，然后用数学归纳法证明.

由此可以猜想当n∈N*时，sinnx+cosnx=（-1）n.

下面用数学归纳法证明.

（1）当n=1时，有sin x+cos x=-1成立.

（2）假设当n=k时，猜想成立，即sinkx+coskx=（-1）k.当n=k+1时，有sink+1x+cosk+1x=（sin x+cos x）（sinkx+coskx）-sin xcoskx-cos xsinkx=（-1）（-1）k-sin x·cos x（sink-1x+cosk-1x）=（-1）k+1.猜想成立.

由（1）（2）可知，当n∈N*时，sinnx+cosnx=（-1）n.

说明：对于解规律探索题，要合理利用题目中提供的信息，正确审题、分析、归纳，然后探索出结果.

四、存在探索型

存在探索题一般是在确定的条件下判断某个数学对象是否存在.解决这类问题的策略是先假设需要探索的对象存在，从条件和假设出发进行运算、推理，若出现矛盾，则否定存在；如果不出现矛盾，则肯定存在.

分析：可以将函数化为关于一个角的三角函数，再利用条件列出方程组求a、b的值.

所以存在a、b∈R，使本题结果成立.

说明：此题采用的方法是：观察函数表达式的特征——假设存在——演绎推理——得出结论.

三角函数问题的探索题涉及的数学知识较多，解题过程较复杂，技巧性强，没有现成的解题套路，因此 ，要求我们合情合理地分析，把直觉发现与逻辑推理相结合，更应该注重数学思想方法的综合运用.