浅谈高等数学中定积分定义在教学中的妙用

徐 勇

（湖北经济学院 统计与应用数学系，湖北 武汉 430205）

一直以来高等数学中的定积分教学都是重点也是难点。重点在于从概念上它融合了微分以及平面几何的理解；从计算上又继承了一元函数不定积分的方法，是一个大综合的知识点；难点在于计算过程中既要注重结合一元函数不定积分的计算方法，又要结合积分区间的理解，很容易由于对变量取值范围的理解方式错误而计算出错。我们通常比较注重如何让学生掌握计算定积分的方法，但实际上，定积分的概念有极其重要的价值，它能让我们理解很多几何问题的结论是如何产生的。本文结合旋转体的体积以及空间中平行截面已知的立体体积的计算问题谈谈定积分定义的妙用。

首先我们简单回顾一下定积分的定义。描述如下：设f（x）在[a，b]上有界，在[a，b]中任意插入若干个分点：a=x0＜x1＜……xn-1＜xn=b，把区间分成 n 个小区间：[x0，x1]，[x1，x2]，……[xn-1，xn]对应可以得到各小区间的长度值，故依次为：△x1=x1-x0，△x2=x2-x1，……△xn=xn-xn-1，在每个小区间[xi-1，xi]上任取一点 ζi，作函数值 f（ζi）与小区间长度△xi的乘积 f（ζi）△xi作和式：Sn=f（ζi）△xi，记：λ=max（△x1，△x2，……△xn），如果不论对[a，b]采取怎样的分法，也不论在[xi-1，xi]上点ζi采取怎样的取法，只要当λ→0时，Sn总趋近于确定的极限I，我们就称这个极限I是函数 f（x）在区间[a，b]上的定积分，记为：（ζi）△xi。其中，f（x）称为被积函数，[a，b]是积分区间。我们都知道，从几何意义上看，它可以不那么严格地认为，这就是一个曲边梯形的面积：即在平面中以曲线y=f（x）叟0为曲边，与x=a，x=b，x轴三条直边围成的曲边梯形的面积。当然被积函数若不是非负的，只需将 f（x）作为被积函数，则得到的曲边梯形为的相反数。例如，我们看看这样一个定积分，求简单分析我们就能得到，它其实是一个以原点为圆心，半径为1的上半圆的面积，显然，这个面积值就是单位圆面积的一半，直接可由圆面积计算公式得到。这样我们无需复杂的计算方法就得到了结果。当然这并不表示定积分都可以这样来求得，事实上，很多定积分所对应的曲边梯形不是规则图形，也就很难直接求得它的面积，这也正是为什么有专门针对定积分的计算方法的原因。定积分的定义除了能帮助我们计算一些简单的积分外，还能做什么呢？下面我们来看看。

一、利用二重积分定义推导旋转体体积计算公式

这里的旋转体是指：函数 y=f（x）与 x=a，x=b，x 轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得到的立体。此旋转体的体积公式为怎样理解此公式呢？譬如为什么有函数的平方运算，为什么需要乘上π？如果我们结合二重积分的定义去推导旋转体的体积，上述问题自然迎刃而解。我们把区间 [a，b]任意地分成 n 个小的区间，记为：[x0，x1]，[x1，x2]，……[xn-1，xn]，各小区间长度仍记为△xi（i=1，2……n），这样，我们将整个大的旋转体分割成了n个小旋转体，其体积不妨记为V△xi（i=1，2……n）。当n比较大时，我们可以认为这n个小旋转体V△xi近似于n个小圆柱体。基于此，我们仍在每个小区间[xi-1，xi]上任取一点 ζi，则以为半径，以△xi为高，可以得到第i个小的圆柱体的体积，即：π[f（ζi）]2△xi，以此体积值作为 V△xi的近似值，即：V△xi≈f（ζi）△xi，（i=1，……n），由于每个小旋转体均可以被这样近似，故我们可以得到（ζi）]2△xi，（i=1，……n）。考虑到当每个近似的误差在作了求和运算可能比较大，于是我们可以通过让区间被分得更细降低误差，只需记 λ=max（△x1，△x2，……△xn），当 λ→0 时，区间被无限细分，且每个小旋转体被近似时产生的误差也在无限接近于0。这样我们最终得到整个大的旋转体的体积公式：V=看到这个极限你想到了什么？ 对了，这不就是定积分定义式中将 f（ζi）替换成 π[f（ζi）]2吗？ 考虑到定义中 f（ζi）是与被积函数 f（x）对应的，故旋转体体积对应的也是一个定积分，形如这就是旋转体体积公式的由来，这也那么此时为何积分变成了以y为积分变量的形式呢？ 除此之外似乎和绕x轴旋转的旋转体差别并不大。这些区别于相似之处我们仍然可以用定积分的定义来加以解释。我们把区间 [c，d]任意地分成n个小的区间，记为：[y0，y1]，[y1，y2]，……[yn-1，yn]各小区间长度仍记为△yi（i=1，2……n），这样，我们将整个大的旋转体分割成了n个小旋转体，其体积不妨记为 V△yi（i=1，2……n）。 当 n 比较大时，我们可以认为这n个小旋转体V△yi近似于n个小圆柱体。基于此，我们仍在每个小区间[yi-1，yi]上任取一点 ζi，则以就解释了为什么公式中会出现平方运算和常数π了。这样的理解方式在教学中可以更形象地让学生记住公式，一想到圆柱体就自然不会忘了被积函数平方的运算。

上述旋转体实际上是将旋转轴定为x轴时对应的计算结果，那么若旋转轴为y轴是不是也能如此推导呢？下面我们继续来探讨。 此时旋转体为函数 x=f（y）与 y=c，y=d，y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周所得到的立体。此旋转体的体积公式为为半径，以△yi为高，可以得到第i个小的圆柱体的体积，即：π[f（ζi）]2△yi，以此体积值作为 V△yi的近似值，即：V△yi≈f（ζi）△yi，（i=1，……n），由于每个小旋转体均可以被这样近似，故我们可以得到：考虑到当每个近似的误差在作了求和运算可能比较大，于是我们可以通过让区间被分得更细降低误差，只需记λ=max（△y1，△y2，……△yn），当λ→0时，区间被无限细分，且每个小旋转体被近似时产生的误差也在无限接近于0。这样我们最终得到整个大的旋转体的体积公式看到这个极限你想到了什么？对了，这不还是定积分定义式中将 f（ζi）替换成 π[f（ζi）]2吗？ 考虑到定义中 f（ζi）是与被积函数 f（y）对应的，故旋转体体积对应的也是一个定积分，形如所不同的是，现在是以y为积分变量而已。

当然，上述两种旋转体是两种最基本的形式，即绕旋转轴旋转的曲边梯形其边界恰好落在旋转轴上，这样的旋转过程是没有“缝隙”的，即得到的旋转体是完全实心的。更为复杂的情形有两种：第一种，让函数 y=f（x）与 x=a，y=b，x 与轴所围成的曲边梯形绕 y轴旋转一周或函数 x=f（y）与 y=c，y=d，y轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得到的旋转体。这两种旋转体的共同点是曲边梯形的边并没有落在旋转轴上，这导致旋转一周后得到的旋转体实际上是一个非实心的情形。像这样的旋转体要采取间接求法，也就是说需要用一个大的旋转体体积减去一个小的空心的旋转体体积来对应所求旋转体体积；第二种，旋转轴不是x轴或者y轴，而是平行于坐标轴的直线x=x0或y=y0，处理这种问题同样不能直接使用公式求解，需要先对曲边梯形进行平移，将问题转化为绕坐标轴旋转的类型才能使用体积公式。上述两种复杂情形由于很繁琐，我们就不一一赘述了。

二、利用定积分定义推导平行截面已知立体的体积

什么是平行截面已知立体的体积呢？如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一个定轴的各个截面面积，那么这样的立体称为平行截面面积已知的立体。例如将x轴作为定轴，并设该立体在过点x=a，x=b且垂直于x轴的两平面之间，以A（x）表示过点x且垂直于x轴的截面面积。则在每个具体的x=x0处，我们认为截面面积是已知的，即：A（x0）。在x=a，x=b之间显然有无数个这样的平行截面，则这样的立体体积是多少呢？我们都知道最终的结果是一个定积分：（x）dx，即恰好为截面面积函数 A（x）在区间 [a，b]上的积分。那么如何理解这个结果呢？我们仍然可以利用定积分的定义来得到它。

我们仍然将区间[a，b]任意地分为n个小区间，即插入多个分点，区间记为：[x0，x1]，[x1，x2]，……[xn-1，xn]，各小区间长度仍记为△xi（i=1，2……n）。我们将整个大的立体分割成了n个小立体，体积不妨记为 V△xi（i=1，2……n）。 当 n 比较大时，我们可以认为这n个小立体V△xi近似于n个小柱体。我们仍然在第i个小区间△xi中任取一点ζi，该点对应的截面面积显然为 A（ζi）。 于是对于这个小的立体，我们以为 A（ζi）底面积，以该区间的长度△xi为高，用柱体的体积来近似 V△xi，即：V△xi≈f（ζi）△xi，（i=1，……n），由于像这样的小立体有 n 个，故从而必然有考虑到每个小的立体都被近似过，那么这些近似产生的误差经求和后可能比较大，只有通过将区间 [a，b]无限细分实现误差的无限减小（即趋近于0）。于是我们又可以记λ=max（△x1，△x2，……△xn），当 λ→0时，区间被无限细分，且每个小立体被近似时产生的误差也在无限接近于0。这样我们最终得到整个大的立体的体积公式看到这个极限你想到了什么？对了，这不就是定积分定义式中将 f（ζi）替换成 A（ζi）吗？ 考虑到定义中 f（ζi）是与被积函数 f（x）对应的，故旋转体体积对应的也是一个定积分，形如：这就是旋转体体积公式的由来。

当然，若将 y轴作为定轴，垂直于y轴的截面A（y）已知的立体，我们也可以类似地推导。但是要注意，我们此时要将截面视为是随着y的变化而变化的，因此截面面积应是以y为自变量的函数形式。将y轴作为定轴，并设该立体在过点y=c，y=d且垂直于y轴的两平面之间，以A（y）表示过点y且垂直于y轴的截面面积。则在每个具体的y=y0处，我们认为截面面积是已知的，即：A（y0）。在y=c，y=d之间显然有无数个这样的平行截面，则这样的立体体积是多少呢？我们都知道最终的结果是一个定积分：，即恰好为截面面积函数A（y）在区间 [c，d]上的积分。那么如何理解这个结果呢？我们仍然可以利用定积分的定义来得到它。

我们仍然将区间[c，d]任意地分为n个小区间，即插入多个分点，区间记为：[y0，y1]，[y1，y2]，……[yn-1，yn]，各小区间长度仍记为△yi（i=1，2……n）。我们将整个大的立体分割成了n个小立体，体积不妨记为 V△yi（i=1，2……n）。 当 n 比较大时，我们可以认为这n个小立体V△yi近似于n个小柱体。我们仍然在第i个小区间△yi中任取一点ζi，该点对应的截面面积显然为 A（ζi）。 于是对于这个小的立体，我们以 A（ζi）为底面积，以该区间的长度△yi为高，用柱体的体积来近似 V△yi，即：V△yi≈A（ζi）△yi，（i=1，……n），由于像这样的小立体有 n 个，故从而必然有 Vyi。考虑到每个小的立体都被近似过，那么这些近似产生的误差经求和后可能比较大，只有通过将区间[c，d]无限细分实现误差的无限减小 （即趋近于0）。 于是我们又可以记 λ=max（△y1，△y2，……△yn），当λ→0时，区间被无限细分，且每个小立体被近似时产生的误差也在无限接近于0。这样我们最终得到整个大的立体的体积公式看到这个极限你想到了什么？对了，这不就是定积分定义式中中将 f（ζi）替换成 A（ζi）吗？ 考虑到定义中 f（ζi）是与被积函数 f（y）对应的，故旋转体体积对应的也是一个定积分，形如。可见，这与以x轴为定轴的情形是很相似的，只是把截面的形式变化了而已。

以上就是结合本人的高等数学定积分教学时的一些感受。通过以上分析充分说明，很多知识之间不是孤立的，如果能深入探究它们之间的关联，通过追根溯源可能会发现很多知识其实都是一个系统的不同分支，这样既便于教师的备课又有利于学生对于不同知识点的系统理解。

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