解析几何教学中培养学生空间想象能力

石向东

（梧州学院 数理系，广西 梧州 543002）

解析几何教学中培养学生空间想象能力

石向东

（梧州学院 数理系，广西 梧州 543002）

空间想象能力是数学教学应培养的三大能力之一。空间想象能力的特点是对在人脑中构成的研究对象的空间表象进行改造和重新构造新的几何形象，它是形象思维与逻辑思维相结合而产生的一种能力。基于对空间想象能力的认识，提出在空间解析几何中培养空间想象能力的几点建议：强化空间观念、掌握系统的几何基础知识、引入多媒体教学。

空间想象能力；空间表象；多媒体教学

下面一道空间解析几何题，对空间想象能力是很好的说明。

分析：根据已知条件，易得母线方向数为1，-2，-2，若能求出圆柱面的准线圆，就可求出圆柱面的方程。圆柱面的准线圆可以看作是以轴上的点Q （0，1，-1）为球心、已知点P（1，-2，1）到Q点的距离|PQ|为半径的球面与过点P且垂直于轴的平面π的交线。

这道题的解法是根据题意，创造出合乎已知条件的几何图形来解题的一个典型。

笔者在教学时，根据已知条件求出圆柱面。已知垂直于轴的平面与圆柱面的交线圆是准线。那么在上面的解法中，是怎么想到构造一个球，并用一个平面去截它，把所得的交线作为准线呢？这是由于联想到球面与平面的交线也是圆，从而可推想到：这个球面是以Q点为球心、|PQ|为半径；而截面是过P点且与轴垂直的平面，于是一切问题就迎刃而解了。

由上面的例题，可以看到空间想象能力在解决空间解析几何问题中有着不可估量的作用。培养学生的空间想象能力，一直是数学教学不断追求的任务。

1 对空间想象能力的认识

1.1 什么是空间想象能力

空间想象能力是数学教学应培养的三大能力之一，它主要指的是人们对客观事物的空间形式进行观察、分析和抽象的能力。它的特点是对于在人脑中构成的研究对象的空间表象进行分割，或加工、改造而创造新的几何形象。在空间解析几何中，空间想象能力主要有下面三个方面的要求： （1）能借助图形来反映并思考研究对象的几何形状及空间位置关系。 （2）能在复杂的图形中区分出基本图形，并分析其中基本图形和基本元素之间的相互关系。 （3）能根据几何对象的性质及空间位置关系创造出合乎一定条件的新的几何体。可以概括地说，空间想象能力的本质是思考和创造。

1.2 空间想象能力是形象思维与逻辑思维相结合而产生的一种能力

几何对象的空间关系有直观的和抽象的两种表达方式，直观的表达形式是用图形符号来表示，抽象的表达形式是用文字符号 （概念）表达。这两种表达方式是相匹配的，从某种意义上来讲，几何体的图形符号的本质意义就是与之相匹配的概念，它们之间是一种等值关系。

有人认为空间想象能力只与形象思维有关，其实不然。用图形符号表达的空间关系虽有立体感、直观，易于从知觉上加以理解，与表象的形成密切相关，但它又有不完整、不准确等局限，在较多部分上不能反映几何对象的真实的空间关系；而用文字符号表示的空间关系，尽管是抽象的，但却是分析的、逻辑严密的，能直接反映相应的本质属性，因而是准确的。所以在空间想象活动中，单纯依靠直觉的图像符号进行思考难以实现空间想象，必须借助抽象的概念进行逻辑思维，这说明了空间想象能力是形象思维与抽象的逻辑思维相结合后产生的一种能力。

1.3 良好的空间想象能力是空间思维的导向

空间想象活动过程是这样进行的：在头脑中再现过去感知的、现实中存在的几何形象的记忆原材料，利用这些已有表象进行加工、改造，创造出新的几何形象，想象是以形象作为活动的主要形式。而空间思维则是反映出事物的表象的内在联系的必然，它是以概念为主要活动形式。丰富的空间想象能力有利于提高学生的空间思维水平，良好的空间想象能力对空间思维活动起着导向性的作用。

例如，在空间解析几何的教学中，往往要求作出由几个曲面或平面围成的立体图，作图的关键在于两曲面相交的曲线的画法，也就是如何根据空间曲线的方程来画曲线图形的方法。

对多数曲面来说，作曲面的图形比较难，画出它们的交线就更难。但是，空间曲线L作为两曲面的交线，如果它是由F(x,y,z)=0和G(x,y,z)=0相交而成，也必定能找到另外两个曲面M(x,y,z)=0和N(x,y,z)=0，使它们的交线也是L。所以产生空间曲线的曲面不是唯一的。为此，对于空间曲线我们可以创造出与之等价的、且容易作图的曲面，比如母线平行于坐标轴的柱面，也就是射影柱面，即只要把空间曲线看作是两个射影柱面的交线，则作图就简单多了。这种把曲线方程中的两个曲面方程变换成与之等价的柱面方程的思路，便是空间想象能力的结果。

2 空间想象能力在解析几何学科中的培养

空间想象能力是有效地处理几何图形，对其表象进行加工、整合、创新的一种特殊的数学能力。良好的空间想象能力有助于学生掌握高效的学习方法，提高 “数学素养”，反之，有些学生空间想象能力较差，这往往是他们学习解析几何的绊脚石。在解析几何教学中培养学生的空间想象能力，可以从下面三方面进行。

2.1 在建立解析几何基本概念的教学中培养空间想象能力

图形给人的信息是直觉的，在空间想象活动中，学生必须凭借分析图形，识别图形表达形式的“庐山真面目”，透过现象看本质，联想到与图形匹配的概念——即与图形有关的知识点。可见，几何对象空间的形与识的表象即直观图以及直观图所对应的空间概念，是想象的材料，这些材料的数量和质量直接影响到空间想象的水平，学生头脑中积累的几何知识越丰富，想象就越深刻、准确，否则就导致想象的肤浅和错误。

在解析几何基本概念，包括空间平面、曲面、空间直线、曲线等几何形体的教学中，必须摒弃过去那种只着重曲线、曲面方程知识的教学方式，而要重视学生空间知觉的获得。例如在 “柱面”定义的教学中 “平行的直线族”、 “准线”这两个概念的理解是学生掌握柱面特征的关键，也是形成空间曲面概念的开始。教学时，教师在引导学生观察柱面形成动态过程的基础上,使学生获得 “平行的直线族”、 “与直线族相关的定曲线” （准线）的空间知觉、建立具有这种特征的空间曲面——柱面的表象，以确立对柱面形成的空间想象为进一步学习锥面等空间曲面打下基础。

2.2 在解题教学中进一步发展学生的空间想象能力

当几何基础知识的积累达到一定程度，空间想象能力就能从形象的水平提高到抽象的文字符号水平，即无图想象的境界。为了到达这一境界，还应该引导学生在运用解析几何知识去解决问题的训练中，进一步发展空间想象能力。

在解题的思维训练中，可从如下两个层面上展开对学生的空间想象能力的提升。

第一个层面是必须紧扣解析几何的基本知识。因为系统的数学知识是空间想象能力的基础，面对题目提供的信息，学生必须凭着对数学知识的准确理解，联想到与概念匹配的图形信息，使空间想象达到方向的准确性，以及理解的深刻性。

例2.作两柱面x2+y2=1与y2+z2=1在第一卦限内的交线。

在上面的解法中，想象出用一系列平行于xoz平面的平面去截这两个柱面，是来自于对柱面的几何性质的认识，就是：①柱面可以看作是由平行直线族所生成的，因此两柱面的交线上的点就是两柱面的母线的交点。②圆柱面x2+y2=1的母线平行于oz轴，圆柱面y2+z2=1的母线平行于ox轴。基于对上述两点性质的深刻理解，才能想象出一系列矩形。这种无图想象是凭籍丰富的、系统的几何知识才得以进行。

第二个层面是在解题训练中要做到形象思维与逻辑思维有机的结合。数学的抽象性与逻辑严密性，使教师在传统教学方法中容易进入过分强调答案的推理性和逻辑性的思维误区，而忽略了形象思维较容易进入直觉感知这个角度和方向。笔者在解析几何教学中根据教学内容的具体特点，采用以形象思维与逻辑思维相结合的解题训练方法。

对空间想象能力的培养离不开画图与用图。如果题目给出的空间关系的信息是用图形表示的，那么学生在接受到这一视觉信息，并将图形分析、整理后，根据图形特征，就会在记忆系统中再现某个可利用的基本图形，然后再进一步唤起直观图符号意义的回忆，由空间形式的图形符号转换到其语言符号，这就是用图。如果题目提供的空间关系是用文字符号表示的，那么学生在得到这一信息时，就要恢复语言文字符号的图形面貌，即将概念转换成与它相匹配的直观图形，这就是画图。无论用图还是画图，都是几何对象的空间关系的抽象与直观这两种表达方式的转换。

在空间想象活动中，一方面是知觉直观图，直觉地获得图形的符号意义，凭借图形反映并思考几何对象的空间形式和位置关系，这是形象思维活动。另一方面，再通过对知觉的内容进行整理、修改、补充等认知活动，并把知觉的符号意义与个体认识结构中的有关概念、知识联系起来，用文字或列式来表达空间形状与位置关系，这是抽象的逻辑思维活动过程。可见，在空间想象活动过程中，形象思维能力与抽象的逻辑思维能力同时发挥作用。

分析：利用圆柱面上的点到轴的距离为定值（等于准线圆的半径），所以要先求出轴的方程及准线圆的半径、圆心。

因为点B（0，0，2） 在l2上，令过B且垂直于l2的平面为π，即y+z-2=0，求得π与l1的交点D（0，2，0），π与l3的交点E（，1，1），由B、D、E三点可求得圆心M0（0，1，1） 和半径 ，再利用圆柱面上任一点到轴的距离等于，从而得出圆柱面方程。

但若不作分析，而是根据l1上的点A（0，1，-1）、l2上的点B（0，0，2） 和l3上的点C（，1，1）来求圆心和半径，就会导致错误的解法，这是因为过A、B、C三点的平面与轴并不垂直，这个平面与圆柱面的交线是椭圆而不是圆。错误解法产生的原因是，在解题过程的空间想象活动中，对过A、B、C三点的平面与轴的位置关系没有进行分析，而仅是凭借知觉想象出过A、B、C的平面去截圆柱面所得的曲线是圆。因此空间解析几何中对几何对象的分析过程是形象思维与逻辑思维相结合的过程。

2.3 多媒体教学有助于空间想象能力的提高

强化空间观念是培养空间想象能力的前提。空间观念是指在空间知觉的基础上形成的关于几何对象的形状、大小和相互位置关系的表象，它是随着空间解析几何的教学逐步发展起来的。在学习空间解析几何的初始阶段，为使学生具有丰富的空间表象，就离不开对实物模型的观察，以帮助学生理解它们的本质特征，从而较好地掌握抽象的几何概念，这个阶段是看型识图。

但直观教具的使用不是目的，而是辅助手段，因此要尽快使学生摆脱对实物和模型的过分依赖，必须紧扣几何的有关概念、定理等基础知识，根据一定的逻辑推理去展开充分的想象，也就是脱型识图。

多媒体教学是培养空间想象能力的有效途径。空间知觉、空间观念、空间想象能力三者之间的关系是：空间观念是在空间知觉的基础上形成的，而空间观念又是空间想象能力的基础，学生从空间知觉到空间想象能力的发展中，是以空间观念为表象的。空间观念的形成，是一个长期培养、积累的过程，但在实际的学习中，学生往往不易建立空间的概念，在头脑中难以形成较准确的几何形象，为了化解这一难点，可使用多媒体进行空间解析几何的教学。实践证明，多媒体教学是帮助学生形成良好的空间观念、发展学生的空间想象能力的有效途径。多媒体展示的图形，使学生从多方位、多角度地观察、认知几何体，从而在头脑中建立起准确的、丰富的表象，在感受知识形成的过程中培养学生的空间想象能力。

总之，空间想象能力的培养是教学中的一项长期任务，必须在教学的各个环节上长期坚持，并且与空间解析几何的基本理论的教学以及逻辑思维能力的培养有机地结合起来，才能取得较好的效果。

[1]石志群.谈培养空间想象能力的层次性及操作程式[J].数学通报,1996(4).

[2]季素月.关于数学学习的几个问题的分析[J].数学教学,1997(2).

[3]吕林根，许子道.解析几何[J].北京：高等教育出版社，2006.

G642.4

A

1673-8535（2012）02-0097-04

石向东（1961-），男，广西梧州人，梧州学院数理系讲师，研究方向：数学教育、微分方程。

（责任编辑：高 坚）

2012-02-20