低快拍下多输入多输出雷达中的角度估计算法

李建峰 张小飞

（南京航空航天大学电子信息工程学院；江苏 南京210016）

引 言

多输入多输出（MIMO）雷达用多个天线同时发射信号，用多个天线接收反射回的信号，跟传统相控阵雷达相比，有很多优点［1－5］。相比单个发射天线，MIMO雷达拥有更多的自由度，可以克服衰落效应，提高空间分辨率，增强参数识别能力和提高目标侦测性能［6－10］。目前，MIMO雷达中已经有很多离开角（DOD）和波达角（DOA）估计算法，包括借助旋转不变技术的信号参数估计（ESPRIT）方法［11］，Capon方法［12］，多重信号分类 （MUSIC）方法［13］，平行因子算法［14］以及自适应平行因子方法［15］等，以上算法在比较高的快拍数下，能获得较好的性能，而在较低的快拍下，性能就会变得很差。文献［16］提出了一种单快拍数下双基地MIMO雷达的角度估计算法，该算法需要两个一维谱搜索估计，复杂度高；还需要额外的参数配对。为此，文中提出了低快拍下的MIMO雷达中一种低复杂度、自动配对的角度估计算法，该算法利用矩阵束（Matrix Pencil）方法来实现DOD和DOA的较准确的联合估计，通过构造矩阵，能实现甚至在单快拍下的角度估计，算法复杂度低于ESPRIT算法，且估计的角度能自动配对；同时，论文中所提算法的角度估计性能好于ESPRIT算法。

1.理论分析

1.1 数据模型

考虑双基地MIMO雷达中，发射阵列M元的均匀线阵（ULA），接收阵列为N元的ULA，阵元间隔半波长。假设有D个不相关的目标，则接收端匹配滤波器的输出为

式中：θd，ød分别是第d个目标对应于发射阵列的DOD和对应于接收阵列的，i为虚部符号；fd为多普勒频移；βd是反射系数，不同目标之间不相关，（·）T表示矩阵转置；n（t）是MN×1的高斯噪声向量，均值为0，协方差矩阵为σ2IMN，IMN是MN×MN的单位矩阵；ar（ød）⊗at（θd）是对应于第d个目标的发射方向矢量和接收方向矢量的Kronecker积，其中

式中exp（－iπ）代表e－iπ.

式中：N∈CMN×J是噪声矩阵；B＝［b（1），b（2），…，b（J）］∈CD×J.

无噪声时，X的第（（n－1）M＋m）行为

式中bd是B的第d行。定义

式中E［·］代表求期望；（·）H表示矩阵的共轭转置。忽略多普勒频移影响，则

式中ad＝bd.利用式（6）构造增广矩阵

其中

Rm为Q×（N－Q＋1）的Hankel矩阵，将式（7）代入式（9），得

式中：

式中diag（v）表示一个对角矩阵，其对角元素为v.

将式（10）代入式（8），得到

式中：

1.2 基于矩阵束的角度估计算法

1.2.1 DOA估计

对Re进行奇异值分解，得到

式中：Usa、Dsa为包含信号子空间的D个主特征向量与主特征值；Una、Dna分别包含其他特征值与特征向量。由于EL与Usa张成相同的信号子空间，因此，存在唯一K×K的非奇异矩阵T1，使得

根据式 （15），定义

式中：Ua1表示由信号特征向量矩阵Usa的前（P－1）Q行构成的矩阵；Ua2表示由信号特征向量矩阵Usa的后（P－1）Q行构成的矩阵；E1表示由信号特征向量矩阵EL的前（P－1）Q行构成的矩阵。由式（18）得

定义Fa＝Ua2，其中（·）＋表示矩阵的广义逆。对Fa进行特征值分解，对应的特征矢量则达到T1的估计

式中，Π为列交换矩阵，而且Π－1＝ΠT，其中（·）－1表示矩阵求逆。所以在无噪声情况Xd的估计

假设对Fa进行特征值分解得到特征值，则DOA的估计为

式中angle（·）表示取相位。

1.2.2 DOD估计

通过对EL左乘一个置换矩阵，得到

式中：

用此置换矩阵乘以Usa，可得

同理，定义

式中：Ud1表示由信号特征向量矩阵Usd的前（Q－1）P行构成的矩阵；Ud2表示由信号特征向量矩阵Usd的后（Q－1）P行构成的矩阵；E1C表示由信号特征向量矩阵ELC的前（Q－1）P行构成的矩阵。由式（24）得

则

因为Yd＝（E1CYd），可以通过下式得到Yd的估计

假设估计出的Yd的对角元素为，则DOD的估计为

至此，将此基于矩阵束的角度估计算法流程总结如下：

1）根据接收数据通过式（6）构造r（τ，ζ）；

2）选择合适的P值和Q值（注1），构造出式（8）中的Re和式（9）中的Rm；

3）对Re进行奇异值分解，取其左奇异向量Usa的前（P－1）Q行Ua1，后（P－1）Q行Ua2，并对Ua2特征值分解，得到特征值，根据公式（22＝asin（angle）/π），从特征值中得到 DOA 的估计，根据式（20）从特征矢量得到T1的估计；

4）将Usa左乘一置换矩阵进行重构，得到Usd，并取其前（Q－1）P行Ud1，后（Q－1）p行Ud2，根据式（27）得到Yd的估计，并取其对角元素得到，再根据式（29＝asin（angle/π）），得到DOD的估计

注1：P，Q的选取应满足M－D＋1≥P≥D＋1，N－D＋1≥Q≥D＋1；P，Q的选取，旨在构造增广矩阵，相当于增大快拍数，使角度估计在低快拍下也能获得很好的性能。构造增广矩阵之后，由公式（11）～（17），可以把Q看成新的接收阵列长度，把P看成新的发射阵列长度。注2：根据公式（21）和（28），我们发现估计出DOD和DOA具有相同的列模糊，所以该算法能自动进行二维角度配对。

1.2.3 复杂度及克拉美－罗界（CRB）

根据文献［17］，可以给出双基地MIMO雷达中的CRB为

2.实验结果分析

2.1 仿真结果及分析

图1和图2给出了在M＝8，N＝8，J＝4，信噪比（SNR）分别为0dB，4dB的情况下，该算法的角度估计性能，从图1和图2中可以看出：即使在很低的快拍数下，很低的信噪比下，目标角度都可以被较准确地估计出来。

图3和图4则是M＝8，N＝8，J＝4和M＝8，N＝10，J＝1的情况下，该算法与ESPRIT算法以及CRB的比较，可以看到文中所提算法的RMSE和CRB比较接近，而在J＝1的情况下，ESPRIT算法已失去估计能力，所提算法依然可以准确估计出角度，所提算法的角度估计性能优于ESPRIT算法，而此时ESPRIT算法的复杂度为O（520 704），所提算法复杂度为O（832 8），远低于ESPRIT算法复杂度。

图5和图6给出了J＝4，发射和接收天线数不同的情况下，该算法的估计性能。可以看出：随发射和接收天线数增加，估计性能提升。天线数增加，分集增益增强，性能得到提升。

图7则是M＝8，N＝8，快拍数不同的情况下，算法的估计性能。从图7中可以看出：快拍数增加，估计性能有所提升。

2.2 算法优点

至此，将此基于矩阵束的角度估计算法的优点总结如下：

1）该算法无需谱峰搜索，而且其复杂度低于ESPRIT算法；

2）在低快拍情况下论文中所提算法的角度估计性能优于ESPRIT算法；

3）该算法能工作在单快拍下；

4）该算法能对二维角度自动配对。

3.结 论

文中提出了双基地MIMO雷达中的一种低快拍低信噪比下的DOD和DOA联合估计算法。该算法利用矩阵束方法构造矩阵，通过奇异值分解和ESPRIT方法获得角度信息。该算法估计的角度能自动配对，无需谱峰搜索，复杂度低于传统的ESPRIT算法，而且其角度估计性能在低快拍下优于传统ESPRIT算法。一系列仿真验证了该算法的有效性。

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