基于Tow-Thomas二阶节的椭圆低通滤波器的设计

任青莲，高文华

(太原科技大学电子信息工程学院，太原030024)

滤波器具有选频、滤波的功能，是去除信号中干扰和噪声的基本手段，在通信、电子工程和信号处理等领域起着非常重要的作用。椭圆滤波器以其通带纹波小、阻带衰减大、过渡带宽窄、所需阶数少等优良特性而著称，广泛用于幅频特性要求苛刻的场合。而椭圆函数是一种较复杂的逼近函数，当需要用椭圆函数对滤波网络进行综合设计时，用传统的方法要进行复杂的计算，还要根据计算结果进行查表，得出所需滤波器的阶数和归一化的零、极点，再用频率标度系数将零、极点去归一化，整个过程比较繁琐而且存在较大的困难[1-5]。

利用MATLAB提供的丰富的模拟滤波器设计函数，根据设计指标，通过编程，可以很便捷地求出所需椭圆滤波器的阶数和零、极点的位置，大大简化了椭圆滤波器的设计过程[1-2]。使用Tow-Thomas二阶节电路结构作为椭圆低通滤波器的核心单元，不仅使设计适用于多种不同的滤波要求，而且极大地方便了滤波器的通带增益、品质因数及截止频率等参数的调整[6-8]。

1 椭圆低通滤波器

式中:n为滤波器的阶数，由式(2)计算(或查相关设计手册中图表数据得出)，ε为纹波系数，Un(ω)为n阶Jacobi椭圆函数。

根据设计指标，包括:通带允许波动的最大值Rp和阻带衰减的最小值As，以及相应的通带截止频率ωp和阻带截止频率ωs，利用MATLAT提供的函数编程，求得滤波器所需的阶数n，数值传递函数的虚数零点(0，±ωk∞)以及复数极点(-αk，±βk)，若滤波器的阶数为奇数，还包括实极点(-α0，0)。则可得滤波器的数值传递函数:

以上所得滤波器的传递函数为高阶多项式，采用把高Q值的极点与离该极点最近的零点配对的原则，可将其分解成若干一阶函数与二阶多项式的乘积，所以高阶滤波器可用级联法实现。如果滤波器阶数是偶数，那么该滤波器可以由多个二阶滤波器级联而成;如果滤波器阶数是奇数，那么滤波器可由一个一阶滤波器与多个二阶滤波器级联构成。级联设计的关键是二阶基本节的设计。

2 Tow-Thomas二阶节低通滤波器

最常用的二阶节电路结构有Sallen-Key与Tow-Thomas，Sallen-Key结构只需要一个运算放大器便可实现一个二阶函数，然而其容易受到寄生参数的影响，灵敏度太高，只适用于Q值比较低的滤波器的应用。相对于Sallen-Key滤波器，Tow-Thomas滤波器虽然需要多个运算放大器，但是其具有相对较低灵敏度，其最重要的特点是，可以通过调节电路中各元件的值来独立调节滤波器的通带增益、品质因数及截止频率等参数，大大简化了调谐的工作，因此被广泛应用于各种电路中。

具有传输零点的Tow-Thomas二阶节电路结构如图1所示。

图1 具有传输零点的Tow-Thomas二阶节电路结构Fig.1 Tow-Thomas biquad with transmission zeros circuit

对电路列出方程式:

解联立方程组，可以得到电路的传递函数为:

则可得电路的符号传递函数为:

由式(12)可知，该二阶节提供了一对虚数零点和一对共轭复节点。与式(5)的数值传递函数对应，有以下关系:

选取标称电容C和电阻R，令R1=R3=R，C2=C3=C，则得:

若有实数极点，在输入端加一阶有源滤波电路，如图2所示，取R0=R，C0由实数极点α0确定:

3 设计实例分析

图2 一阶有源低通滤波器Fig.2 One step active low-pass filter

设计一椭圆低通滤波器，要求通带截止频率为6 kHz，阻带截止频率为 7.5 kHz，通带允许波动的最大值为0.28 dB，阻带衰减的最小值为35 dB.

调用MATLAB ellipord函数，确定所需阶数和带宽，程序代码如下:

Wp=6000*2*pi; %通带截止角频率

Ws=7500*2*pi; %阻带截止角频率

Rp=0.28; %通带纹波

Rs=35; %阻带最小衰减

[n，Wn]=ellipord(Wp，Ws，Rp，Rs，'s')，%n 为滤波器的最小阶数;Wn为滤波器的通带宽度。

计算结果为 n=5，Wn=37 699 kHz.

根据计算的滤波器的最小阶数n，调用MATLAB ellip函数求解滤波器的数值传递函数，确定零、极点，绘出滤波器零、极点图和滤波器幅频相应，程序代码如下:

[B，A]=ellip(N，Rp，Rs，Wn，'s');%B 为 H(s)的分子多项式系数;A为H(s)的分母多项式系数;

z=roots(B) %求解H(s)的零点;

p=roots(A) %求解H(s)的极点;

pzmap(p，z) %绘制系统的零、极点图;

W=linspace(100，9000，4000)*2*pi;

H=freqs(B，A，W);%幅频响应;

magH=abs(H);

plot(W/(2*pi)，20*log10(magH));

得滤波器的虚数零点坐标(0，±ωk∞)分别为(0，±67 670)、(0，±47 848);复数极点坐标(-αk，±βk)分别为(-2 636，±38 673)、(-11 875，±29 894);实数极点坐标(- α0，0)为(-21 696，0).

零、极点图如图3所示，幅频特性如图4所示。由图4可知，该滤波器满足各项指标要求。

图3 零、极点图Fig.3 Zero，pole diagram

图4 滤波器的幅频特性Fig.4 The frequency characteristics of filter

在图3中，采用把高Q值的极点与离该极点最近的零点配对的原则，分配零、极点到每一节中，实极点分配到一阶滤波电路中。分A、B、C三节，如图5所示。其中A节包含实极点(-21 696，0)，B节包含零点(0，±47 848)和复数极点(-2 636，±38 673)，C节包含零点(0，±67 670)和复数极点(-11 875，±29 894)。

选择 R1=R3=R5=5.1 kΩ，C2=C3=0.01 μF，根据式(13)到式(20)利用MATLAB编写程序计算出各元件值，如表1所示。

表1 各滤波节电阻与电容的计算值Tab.1 Each filter section resistance and capacitance calculation

根据表1计算所得的各元件值，利用Orcad10.5绘制电路图，如图5所示，调用Pspice10.5进行电路仿真，其幅频特性如图6所示，由仿真结果可知:带内衰减最大为0.28 dB，3 dB截止频率为6.23 kHz，在 7.5 kHz处的衰减为 40 dB，8.5 kHz时的衰减为35 dB，完全满足设计要求。

在实际调试时，可以通过调节各节的R2来改变滤波器的Q值，调整R1来获得不同的增益要求，调整C1的值来改变陷波点的位置。

图5 滤波器设计电路图Fig.5 The circuit diagram of filter

图6 滤波电路的仿真结果Fig.6 Filter simulation results

4 结论

根据给定的技术指标，利用MATLAB求出椭圆滤波器的零、极点，得出滤波器的数值传递函数，根据零、极点图进行零、极点配对，再与Tow-Thomas二阶节的符号传递函数对照，综合计算出电路的各元件值，最后，利用电路仿真软件Orcad/Pspice10.5对电路进行仿真分析，所得结果完全能满足设计要求。由于Tom-Thomas电路具有调整独立，制作方便的特点，因此，本文给出的方法具有一定的应用价值。

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