基于多回路扩张状态观测的加筋壁板结构多模态振动控制

李生权，裘进浩，季宏丽

(1.扬州大学 能源与动力工程学院，扬州 225127;2.南京航空航天大学 机械结构强度与振动国家重点实验室，南京 210016)

加筋壁板由于具有刚度大、节省材料等特点成为飞机蒙皮结构中的典型形式。飞机飞行时易受到发动机、外部激励扰动等因素的影响，引起壁板结构发生很大幅度的振动。壁板结构的长期大幅度振动可能会引起疲劳裂纹、结构破坏甚至造成重大事故的隐忧。所以对其进行振动控制，就显得格外的重要。为此，国内外学者对加筋板结构振动问题进行广泛的研究［1－3］。

压电智能加筋壁板结构是在不改变加筋板基体结构强度特性的基础上，将压电元件粘贴到基体结构中组成的一种智能结构。这种压电智能结构不仅同时具有传感和驱动功能，还具有优良的机电耦合特性、质量轻和可靠性高等特点，是行之有效的振动控制备选结构之一。并在航空航天领域取得了一定的成果，尤其是与振动主动控制技术相结合，在结构的减振降噪方面表现出良好应用前景，引起了越来越多的关注［4］。

与一般的板结构不一样，加筋壁板是由加强框、长桁和铆钉等组成的复杂结构，具有刚度大，存在多种不确定性和耦合等特点。这是由于在实际环境中压电加筋壁板结构多是具有多重干扰激励影响的系统，这使得结构成了一个多变量耦合的不确定非线性系统;这些因素给加筋壁板结构的振动主动抑制带来了很大挑战。目前压电智能加筋壁板结构主动振动控制大多采用速度负反馈和LQR等基于严格数学模型的线性控制策略［5－6］，尽管这类控制器具有结构简单，容易实现等优点，但是实际结构的数学模型难以精确建立，则振动抑制的性能非常有限。

微电子技术尤其是微控制器技术的发展为现代控制理论和新型振动主动控制算法的实现提供了应用平台，近年来出现了一些新的非线性控制振动控制算法，如基于神经网络前馈补偿的控制方法［7］，基于滑模变结构的控制方法［8］，基于模糊逻辑的控制方法［9］。这些方法不仅丰富了智能结构的控制理论，而且从不同的方面使得压电智能结构的振动抑制性能得到了改进。但是，在多模态控制时，这些主动控制方法没有完全考虑结构多模态的输出叠加和控制信号耦合等特性，难以满足多模态振动抑制性能的要求。

自抗扰控制器［10－11］(ADRC)能实时估计和补偿对象模型摄动和外部干扰激励等内外扰动，并结合非线性状态反馈的一种实用的控制系统非线性综合方法，而被广泛的应用到各种机械系统［12－13］。但是，将自抗扰控制技术应用到压电智能壁板结构的多模态振动控制却是一个全新的课题。自抗扰控制器本来是针对对象模型未知的一类非线性的控制策略，为了算法简单，在实际应用中，将ADRC简化成了线性反馈结构，国内外学者大量的应用研究表明线性反馈结构的ADRC(LADRC)依然对非线性对象有很好的控制效果［14－16］。

为了克服四面固支加筋壁板结构难以建立精确数学模型，以及多模态控制时多变量耦合的特性，提出基于多回路扩张状态观测器(multi-loop ESO)解耦控制的线性自抗扰多模态振动控制策略。这种方法的基本思想是:首先，将各个模态之间的耦合(包含输出叠加和控制信号的相互影响)看作为当前控制模态的广义干扰量。用线性扩张状态观测器(LESO)对各个子系统的耦合、外扰和模态参数变化等不确定作用进行动态估计，并且将LESO的估计值引入到反馈控制器中进行补偿，实现了多模态的解耦;其次，由于其他模态的影响已经去除，则可以按照SISO的LADRC方式，方便的设计各个独立模态的反馈控制策略。由于LESO准确快速的估计了结构动态特性和各种扰动，则LADRC能够成功的控制结构的多模态振动。而且，多模态LADRC不依赖模态结构的数学模型，则系统具有较强的鲁棒性能。为了验证该多模态振动控制策略的有效性，基于dSPACE实时仿真试验系统，对ARJ21型飞机靠近尾部的加筋壁板结构进行了多模态控制实验。

1 四面固支压电智能板结构的机电模型

本文研究的是粘贴有压电元件的四面固支的加筋壁板结构，如图1所示，并且背面同位配置相应的压电片。尽管板结构是无穷自由度的，但在某阶共振频率附近发生振动时，可以用只有单个自由度的质量阻尼弹簧系统来描述其机电耦合模型。在加筋壁板结构的多模态主动振动控制过程中，由于需要较大幅值的控制信号，则各个控制压电片输出的模态控制力会相互影响;并且在压电加筋板结构中，传感压电片输出的各阶模态位移也存在输出叠加。

图1 压电智能加筋板结构Fig.1 Piezoelectric stiffened plate structure

与文献［17］相似，典型的压电智能结构简化成如图2所示的机电耦合系统。但是，与文献［17］不同的是，这里不仅考虑结构的二阶模态振动叠加［18］，而且考虑各阶模态控制量之间的相互影响。

图2 压电智能结构多模态机电模型Fig.2 Diagram of electromechanical model

假设包含压电元件的整个结构具有线弹性，结合图2，得到整个智能结构的耦合动力学方程为:

式中:Mi，Ci和KEi分别表示结构的模态质量、阻尼和刚度;yi为模态质量位移;ΣiFi表示外界作用力总和，一般包含有外界激励干扰Fei和压电元件的控制作用Fpi，其它模态激励干扰Fei和控制压电元件F'pi的耦合作用，其中F'ei体现了结构振动的输出叠加因素，而F'pi表示各个模态之间控制输入的相互影响。考虑壁板结构上粘贴压电元件，则整个结构的驱动方程和传感性能为:

式中:Vi和Ii分别是压电元件的施加控制电压和流通电流，αi是力因子，C0i是压电元件的受夹电容。从而动力学微分方程(1)被重新写成:

结构的各项参数为:

其中:f0i，f1i分别为压电元件短路和开路时某阶共振频率，它的测量准确性与压电片布置的方式和粘贴用环氧树脂层的均匀程度等都有很直接关系;εi为压电元件开路时板的阻尼比;λi表示压电元件开路电压与固支板测量点模态位移之比。

2 压电加筋壁板结构的多模态线性自抗扰振动控制器设计

一般而言，实际的壁板结构的动力学方程(4)中模态质量矩阵M都是可逆矩阵，考虑双输入双输出压电振动结构，则微分方程(4)整理为:

其中F'p1，F'e2分别是第二阶模态控制量和激励信号对第一阶模态的影响，且分别是第二阶模态控制电压和输出位移的函数;同理则F'p1，F'e1分别体现第一阶模态对第二阶模态的耦合影响。

为了方便分析LADRC的二阶模态振动控制的过程，作如下定义:

考虑耦合的输入－输出的关系，结合式(10)～式(13)，式(9)可写成:

考虑到结构特点，研究用两对压电片分别作传感和控制，则式(14)中的输入和输出个数是完全一样的。式中函数 fi(θi，w，V)包含有 F'pi，F'ei等不确定因素作用，则函数fi无法获得精确的数学表达式。ADRC的基本思想是，通过扩张状态观测器实时的估计出内扰和外扰的总和fi，则实际运用时，就无需知道fi的精确的数学表达式。

2.1 多回路扩张状态观测器

作为众多结构的动态特性离线辨识策略的替代品，ESO提供了一种实时估计结构动态特性和外部干扰激励影响的新方法。加筋壁板结构前二阶模态对象是一个二输入二输出的耦合对象。考虑结构对象式(14)的第一阶模态，基于独立模态的LADRC振动抑制策略如下:

这样一阶模态能用如下状态方程形式表示:

对应的一阶模态的线性扩张状态观测器(LESO)为:

其中:z1，1，z1，2分别为一阶振动模态位移和速度估计量，z1，3为广义干扰量 f1的估计值;ω1，0为 LESO 的带宽，一般而言，较大的观测器带宽能提高状态和干扰的估计精度，但是，可能提高整个闭环控制结构的噪声灵敏度，则必须选择合适的观测器带宽ω1，0，在满足性能要求的基础上，尽可能的降低噪声灵敏度。

同理，由于第一阶模态对第二阶模态的耦合影响都综合到广义干扰函数 f2(θ1，θ2，w，V)中，则第二阶模态对应的线性扩张状态观测器(LESO)为:

式中，z2，3为广义干扰量f2的估计值;选择合适的LESO带宽，满足估计性能要求。

2.2 多模态动态解耦控制

选择合适的LESO的带宽ωi，0，则观测状态能够很好的估计出结构各阶扩张状态。忽略fi和zi，3之间的偏差影响，则LADRC能够有效的补偿fi，具体的控制器框图如图3所示。其中，

式中:kp，1和kd，1分别表示第一阶模态反馈控制器的比例和微分增益。在图3中，为第一阶模态的位移设定值，加筋壁板结构第二阶模态干扰激励Fe，2和第二阶模态控制信号V2对第一阶模态输出位移y1耦合环节分别为 Pe，1，P1，2，环节 Pe，1，P1，2的输出 ye，2，y1，2看作对y1的扰动输入，因此:

其中，f1包含了干扰激励Fe，2和第二阶模态控制信号V2对第一阶模态的耦合影响。如果选择了合适的LESO参数，上式右边第一项是可以忽略的，则剩余项是一个简单的PD控制器，构成了一个反馈补偿项。第二阶模态控制原理与第一阶模态类同。这样，就将带有耦合的加筋壁板结构间接地解耦成了2个独立的控制回路。实现了基于多回路LESO的多模态自抗扰策略的振动抑制。

图3 四面固支板结构多模态自抗扰振动控制框图Fig.3 Diagram of all-clamped panel structural multi-mode vibration controller based on ADRC

3 实验研究

3.1 实验系统

本文以ARJ21型飞机中常用的加筋壁板结构为例，搭建了如图4所示的实验系统，振动对象为四面固支铝合金LY12CZ加筋壁板结构，总体尺寸为860mm×550mm×1mm，其中包含有四根长桁将整个板结构分成9个面，在每个面的中间部位正反对称的粘贴两块压电片，压电片的尺寸为30mm×30mm×0.2mm。考虑整个结构的前两阶共振模态，则分别中间面和左右面的压电片有最大的应变，正上面的压电片用来激励板结构。整个结构的前两阶固有频率通过实验扫频的方式得出，扫频的频带为40～500Hz，实验测量的前两阶的共振频率为268.6Hz和307.7Hz。为了验证文中提出多模态振动抑制方法的可行性，则采用同位配置的原则，分别用中间面和右边面的对称压电片作传感和控制。基于dSPACE1103系统，在MatlabR2006a/Simulink环境下，运用线性自抗扰控制策略对四面固支压电智能加筋板结构进行主动振动抑制实验。

图4 加筋壁板结构主动振动控制实验系统Fig.4 Photograph of the experimental setup

3.2 实验结果与分析

为了评估多模态振动自抗扰控制策略的控制性能，分别给出结构在独立模态激励下和多模态激励下的实验结果。为了公平比较，首先，都选择正上面的外部压电片作为激励源;其次，一阶模态(268.6Hz)控制和传感分别选择压电板的中间对称位置的内部和外部压电片，二阶模态(307.7Hz)控制和传感分别选择右面对称位置的内部和外部压电片。由于独立模态下振动模态动力学方程是一个二阶系统，根据第2.1节分析可知，只要选择恰当LESO的观测器带宽ωi，0就能估计出包含其他模态耦合影响在内的各种干扰，实现了多模态的解耦控制。基于此，分别对前两阶模态进行独立模态的LADRC振动控制器设计。其次，在进行各模态独立控制器设计时，鉴于前两阶模态的共振频率分别为268.6Hz和307.8Hz，根据文献［14 －15］的方法，分别选择这两阶模态的LESO观测器带宽为1600和1900，实际运用中应该在跟踪精度和噪声灵敏度进行折中处理，于是在这两个值附近采用试凑法，在带宽分别选择1700和2000时整个系统具有最好的振动控制性能。再次，运用分离原理，且根据(22)式可知，反馈控制器等同于设计结构的速度和位移反馈控制增益，而这个过程与最优控制最后的结构形式是一致的。则根据最优控制的方式获得了具有最优的振动抑制性能下的控制器参数，分别为:Kp，1=120，Kd，1=460，Kp，2=150，Kd，2=500。最后结合式(2)、式(5)、式(14)可知，这里力因子bi=αi是唯一与结构模型有一定关系的量。根据(5)，αi=λiCi，表示的是压电片驱动能力的一个量，可以根据实验测量的方法很方便的确定为b1=0.005，b2=0.003。

为了全面的了解多回路状态观测器LADRC的多模态的主动振动控制的性能，进行如下三类情况的主动振动控制实验。

图5 第一阶模态LADRC振动控制性能Fig.5 Control performance of the first mode with LADRC in single-mode control

图6 第二阶模态的LADRC振动控制性能Fig.6 Control performance of the second mode with LADRC in single-mode control

第一种情况:外部激励干扰分别是前两阶共振频率的正弦信号。

在单模态振动控制中，功率放大器峰－峰值为80 V电压激发某一个模态。LADRC振动控制结果如图5和图6所示，在控制电压峰－峰值分别为30.5 V和35.6 V的条件下，一阶模态和二阶模态分别降低了13.4 dB和13.06 dB。具体的一阶共振频率和二阶共振频率峰值控制前和控制后的分贝值见表1所示。

表1 单模态线性自抗扰控制性能Tab.1 The control performance of LADRC in single-mode control

图7 二阶模态线性自抗扰的前两阶模态激励振动抑制效果Fig.7 Performances of vibration control with LADRC in two-mode control

第二种情况:外部同时存在前两阶的共振频率干扰激励。

为了进行加筋壁板前两阶模态的线性自抗扰解耦振动控制，在控制过程中，选择一阶模态和二阶模态激励信号为1∶1的方式，功率放大器输出峰－峰值为120 V电压激发加筋壁板的前两阶固有频率，传感器采用同位配置的方式。加筋壁板结构的前两阶模态的频域和时域响应如图7所示。

从图7(a)～图7(d)的传感压电片时域和频域响应来看，控制前后两个传感压电片采集到的一阶模态和二阶模态的共同影响存在输出叠加的现象。从图7(d)可知，两阶模态的控制压电片峰－峰值分别为40.02 V和46.76 V，对整个壁板结构而言，相当于是前两阶模态的二次激励，存在控制耦合。图7(a)中间压电片所示，这种多模态LADRC对一阶模态(268.6Hz)减少了15.7 dB，二阶模态(307.7Hz)减少了12.4 dB;从图7(c)右边压电片所示，一阶模态减少12.3 dB和二阶模态减少了12.6 dB。

表2 多模态线性自抗扰控制性能Tab.2 The control performances of LADRC in multimodal control

在选择多模态PD反馈控制器参数分别与单模态的参数选择一致且控制电压稍大的情况下，多模态控制效果几乎跟单模态控制效果一致。这是因为多回路扩张状态观测器分别将其他模态的输出和控制量的耦合影响看作是广义干扰，并分别进行前馈补偿，很好的将多模态振动控制问题转换成单模态的线性自抗扰控制器的设计问题。并且，从图7(a)和图7(b)的对比可以看出，中间传感压电片体现的一阶模态(268.6Hz)的控制效果要稍优于右边传感压电片。但是，由于右边驱动压电片主要是针对二阶模态设计的控制器，就公平而言，则右边传感压电片体现的一阶模态振动抑制是真实的效果。之所以存在这种大约2 dB差异，应该是由于一阶模态传感压电片同位配置引起的局部应变等因素所致。具体的多模态LADRC振动抑制效果如表2所示。

第三种情况:外部激励中加入带宽随机信号。

此例是在激励压电片中加入带宽为200Hz～500Hz，幅值为［－80，80］V区间的随机信号，与二阶模态的振动控制类似，同样选择中间和右边的两对压电片分别作传感和控制。图8(a)和图8(b)分别显示了主动控制前后检测到的信号。从响应可知，如果没有加入主动控制策略，两个传感压电片分别采集到较大的波动，当采用这种二维控制输入方式的多模态LADRC控制器以后，就具有低的稳态波动。当存在外部激励扰动时，二阶ESO估计扰动并把它补偿到控制量中，增大稳态控制量，这样就能获得小的稳态波动。

几种情况的主动振动控制表明了提出的控制策略是稳定的，并且只需要在选择好各阶单模态振动控制器的情况下，采用文中所提的多回路扩张状态观测器分别补偿的方式，用同样的控制器参数，不仅能获得几乎同样的多模态振动控制效果，而且具有优良的抗外界干扰激励的能力。

图8 加入带宽随机干扰激励后振动抑制性能Fig.8 Performances of vibration control with band-limited random disturbance excitation

4 结论

针对加筋壁板结构多模态主动振动抑制中存在输出叠加和控制输入耦合影响的问题，提出了一种基于多回路扩张状态观测器的多模态振动主动控制策略，分别估计出其他模态输出和控制量的影响。这样只需分别选择合理的单模态二阶线性自抗扰控制器参数，直接运用到加筋壁板结构的多模态振动控制中，就能获得与单模态几乎一样的控制效果，简化了多模态主动控制器的设计过程。四面固支加筋壁板结构的几种振动主动控制实验说明，采用本文提出的主动控制方法，不仅在二阶共振频率外界激励下具有优良的振动抑制效果，而且能很好的抑制不确定因素引起的整个结构的波动，使得整个闭环结构具有优良的稳态和动态性能。

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