均匀照明反射面设计中的系数计算

朱向冰 时靖谊 王 竞 罗青青 陈 瑾

(安徽师范大学物理与电子信息学院，安徽芜湖241000)

1 引言

随着科技的发展，许多场合对光照分布提出了很高的要求，比如在集成电路的制作工艺中需要进行均匀曝光，在光敏固化技术中需要均匀固化等，但迄今为止，大多数均匀照明的灯具在性能上需要改善，在设计方法上需要完善。目前实现均匀照明的方法主要有三种:第一种是通过透镜对光线折射实现均匀照明［1～7］，因为透镜有两个曲面，便于设计，但是透镜的两个光学面都会造成光能量损失，透镜材料会吸收光能量，如果透镜的材料均匀性不高也会很大地影响照明的质量，并且透镜两个面的加工成本较高，这种方式不是最优方法;第二种方法是利用单个反射面实现光照的均匀分布［8，9，10］，能有效地避免第一种方法的缺点，但是设计方法有待改进，设计中的数学问题没有很好地解决［9，10］，限制了这种方法的推广;第三种方法是反射透射综合式，设计难度较低，但是成本高，比如液晶屏背光模块采用线光源或大量的点光源，采用反射和折射方式实现均匀的照明［10，12］。本文采用单个反射面，使反射光与直接照射光叠加在一起达到均匀照明的目的，首先建立了光学模型，并得到其相应积分方程，然后对方程的转化及求解的过程进行了说明，对系数表达式进行了计算，并将这些系数应用到反射面设计中，仿真软件的追迹表明系数是正确的、方法是可行的。研究结果不仅为均匀照明灯具的设计和改善提供了依据，还可以推广到非均匀照明系统中。

2 光学模型和方程

在反射式照明中，光源发出的光通过两个途径到达被照明面，一是直接照射在被照明面上;二是被反射器反射到被照明面上。因为光源直接照射在被照明面上的照度分布可以通过光源的特性以及被照明面的相对位置求得，所以本文主要考虑反射光在被照明面上的照度分布情况。假设光在空间传播无损失，被照明面吸收了所有的入射光，由于精确加工的反射面反射率能达到85%以上，为了简化计算，设定反射率为100%，可以列出经过反射面到达被照明面上的光线照度分布函数的积分表达式，然后再通过坐标的变换和积分范围的合理选取，将积分形式的光通量守恒方程转化为微分形式，就将复杂的光学问题转化成了微分方程的求解问题。

2.1 坐标和方程

假定光源的光强分布函数为I，且光源的大小相对整个照明系统可以忽略不计，即处理为点光源，通常对于LED可以这样处理。如图1所示，将光源放在o点，P为给定被照明平面，两者之间的距离设为1，R为P平面上被照亮的区域。以o为原点，建立直角坐标系ox'y'z'，x'oy'平面与P平面平行，单位球与P平面相切与o″点，在P平面中建立直角坐标系xo″y，坐标原点为o″点，x，y轴分别与x'，y'轴平行。

为方便起见，引入投影平面P'，与给定平面P平行且与单位球相切于o'点，以o″点为投影中心，这样单位球上的点就可以用投影平面P'上的点表示了，而P'平面上的点又可以用坐标原点在o'处的直角坐标系uo'v表示，u，v轴与x'，y'轴平行。

假定坐标原点在照明区域内，在R区域内的反射光照度分布的函数用L=L(x，y)表示，L(x，y)是(x，y)点所需的总照度减去光源直接照射在(x，y)点的照度。

图1 光照系统及坐标系

在以光源为球心，反射面对应的立体角为Ω，从光源发出的Ω中的光线应全部投射在R平面上的与立体角Ω相对应的ν(Ω)区域上，也就是说立体角Ω中包含的总光通量与投射在ν(Ω)上的总光通量相等。为了满足照度要求，则L，I函数应满足:

其中μ为反射面的反射系数，由于反射率为100%，即μ取1。该积分方程将这个反射式照明系统表示成了光通量守恒式，其中ν(Ω)项就包含了反射曲面的具体形状。

为了计算出反射曲面的具体信息，需要将积分形式的方程式(1)转化成为微分形式。在x'y'z'坐标系中定义一个向量，它由点光源指向单位球上任意一点(x'，y'，z')，同时该向量也标记出了uo'v平面上的一个点(u，v)。x'，y'，z'与u，v，1之间满足下面的比例关系x'/u=y'/v=(z'+1)/2，同时在单位球上，x'，y'，z'又满足方程x'2+y'2+z'2=1。由此可推导出向量以(u，v)为坐标的具体形式为:

其中ω2=u2+v2。

可以证明单位球上的微分立体角dΩ与投影平面上的微分区域d u d v满足如下方程dΩ=(在这里及后文中，下标均表示偏导数)。式(2)分别对u，v求偏导得:

将式(5)代入式(1)得:

其中S为uo'v平面上与立体角Ω对应的区域，ω(S)为被照明平面上与S对应的区域。在这里，为了使式(6)成立，函数L，I必须是连续的实函数，S是独立的变量，ω是未知量。因为ω与未知的反射曲面形状有关，所以我们称之为反射函数。将积分区域扩展到整个光源照射区域R，可以得到方程式(6)的边界条件ω(D)=R，D为反射面在P'平面上的整个投影区域，所以函数L必须满足方程:

2.2 微分方程的转化及求解

在这里可以用曲面方程ρ=ρ(u，v)来描述反射曲面，ρ为光源到反射面的距离。

图2 反射几何图示

下面将与反射函数ω有关的积分方程式(6)转化为与反射曲面函数ρ有关的偏微分方程。如图2所示，设=为表示照射在反射面上一点的光线的向量。假设这条光线被反射到平面P上的(x，y)点，取一个向量，由点光源处指向该点，该点在空间直角坐标系ox'y'z'中具有坐标(x，y，－1)

其中p=ρu、q=ρv，、由式(3)、式(4)给定。因为向量，，都是相互正交的，且满足右手坐标系关系，的长度为1，，的长度均为［1+(1/4)ω2］－1，即×=，×=，×=［1+(1/4)ω2］－2，所以将上面的式子展开可以得到:

因此，

如图2，由反射定律得:

从中可以解出:

为便于计算，下面先定义几个变量表达式:

那么，将(9)～(11)式代入式(13)，并结合X→=(x，y，－1)，可得:

方程(15)～(18)决定了x，y是u，v，ρ，p，q的函数，所以可以将x，y的表达式写为:

通过式(19)，式(20)可以发现式(6)式中的L(x，y)可以表达为独立变量u，v，以及非独立变量ρ和它的一阶偏导数p，q的函数。对于满足方程式(6)且有连续二阶偏导数的曲面方程ρ=ρ(u，v)的反射面，x，y可以被看作u，v的函数。等式(6)左边对x，y的积分可以通过多重积分的雅克比行列式:

转化成对u，v的积分。这个行列式可通过式(19)、式(20)由链式法则求导获得，其中r，s，t分别表示ρ的二阶偏导数ρuu，ρuv，ρvv。所以对于一个具有连续二阶偏导数的反射曲面ρ=ρ(u，v)，积分式(6)等价于下面的偏微分方程:

将式(21)式中的行列式展开得:

其中:

在这里可以发现Jαβ=－Jβα，这些系数通过式(15)～式(18)计算可得。在此之前，为了让计算变得更简单，先根据式(16)、式(17)将这些系数进行化简，可得Jqv=Jup，pJρp=qJqρ。

3 方程解及其系数

由式(24)知要得到式(23)中各系数Jαβ，α，β∈{u，v，ρ，p，q}，首先需要求出x，y对各变量u，v，ρ，p，q的一阶偏导数xu，yu，xv，yv，xρ，yρ，xp，yp，xq，yq，由此可得

由式(16)、式(17)知，x，y是中间变量G，F，p，q，ρ和自变量u，v的函数，所以由链式法则知，为求出x，y对各变量的偏导，需要先求出这些中间变量及自变量对各变量的偏导。

x，y对各变量的偏导表达式可由链式法则及x，y的表达式式(16)、式(17)联立求出。同时，亦可得到F，G对各变量的偏导数。

将x，y对各变量的偏导表达式以及F，G对各变量的偏导数代入各系数求导式(25)～式(34)，再化简，即可得到各系数的表达式。由于计算出的其他系数表达式形式比较复杂，故在此仅列出两个:

将以上各系数表达式代入(23)式，就可以得到雅克比行列式D的表达式。然后由光源的光强分布函数I和目标平面上R区域内各点所需的反射光照度分布函数L，即可以推算出D在空间各点的值。再从偏微分方程(22)中求得ρ的表达式，即解出了曲面方程ρ=ρ(u，v)。根据ρ在空间各点的不同取值，将数值解导入ProE建模软件中就可以描绘出反射曲面的面型轮廓，求得所需的反射面。再将反射曲面导入照明设计软件tracepro中进行光线追迹模拟，检测光斑的照度均匀性。为了验证上述结果，我们选择了一款LED光源设计了一个反射面，如图3所示。光学模拟表明除去边缘以外，主体部分的均匀性达到85%以上，如图4所示。并且均匀性明显优于传统的反射面设计方法，能满足大多数场合的要求。

图3 反射面3D图

图4 光学模拟结果

4 结论

本文对反射式照明灯具的设计方法进行了探索，成功的求解出了相关系数，该计算结果特别适合于LED照明灯具的设计，可以降低照明灯具的成本。和过去的依赖于经验来设计初始反射面并反复调节反射面的方法相比，虽然系数的表达式非常复杂，但是如果将其编写到程序中，则能大大缩短设计的周期。本文中以均匀照明为目标，研究了反射面设计问题，只要对光源特性进行适当的调整，研究结果也可以借鉴到非均匀照明系统的设计中。

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