浅谈转化为配方法求值域的不同函数类型

蒋丽玲

整个高中阶段对于如何求函数的值域，一直是绝大部分学生感到头痛的问题，它所涉及的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，教师通常将其作为最重要的知识点来进行教学处理.其中二次函数在高中阶段的重要性是毋庸置疑的，其变式多种多样，无论是客观题还是主观题很多都会最终转化为二次函数的各个知识点来求解.若方法运用适当，就能起到简化运算过程、避繁就简、事半功倍的作用.变式练习是指在数学教学过程中对概念、性质、定理、公式，以及问题从不同角度、不同层次、不同情形、不同背景作出有效的变化，使其条件或形式发生变化，而本质特征却不变.能够应用“二次函数配方法”求值域的函数不胜枚举,这里仅以其中几道典型的例题来演示此法在解决具体问题时的技巧.

题型一 二次函数的值域:配方法(图像对称轴).

例1 求函数y=x2-2x+5,x∈［-1,2］的值域.

值域是：［4，8］.

变式1 求f(x)=x2-ax+6的值域.

值域为6-a2[]4,+∞.

变式2 求f(x)=x2-ax+6在［-1，1］上的值域.

解 （1）当a≤-2时，值域为［7+a,7-a］.(2)当-2≤a≤0时,值域为6-a2[]4,7-a

.

(3)当0≤a≤2时,值域为6-a2[]4,7+a.(4)当2≤a时，值域为［7-a,7+a］.

题型二 三角函数的值域.在解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，需将原问题转化成一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法，我们称之为“转化的思想方法”.解题的过程就是“转化”过程.“转化”是解数学题的重要思想方法之一.转化的思想方法的特点是实现问题的规范化、模式化，以便应用已知的理论、方法和技巧达到问题的解决.

例2 求函数y=(玸in玿+1)(玞os玿+1)，x∈-π玔]12,π玔]2的值域.

解 令玸in玿+玞os玿=t，则玸in玿玞os玿=1[]2(t2-1),y=1[]2(t2-1)+t+1=1[]2(t+1)2，故所求函数的值域为3[]4+2[]2，3[]2+2

.

题型三 指数、对数函数的值域:采用换元法.

例3 求f(x)=玪og2(x2-2x+6)的值域.

值域为［玪og25,+∞）.

例4 求f(x)=4瑇+2﹛+1+6的值域.

值域为［6,+∞).

著名的数学教育家波利亚曾形象地指出：“好问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找一找，很可能附近就有好几个.”数学课堂教学中，变式练习就是数学教育家波利亚所说的蘑菇，它让学生能够把自主学习和主体智力参与，以及多向性、多层次的交互作用引进教学过程.在高三的复习课中变式训练尤为重要.

题型四 根式函数的值域.

例5 求函数的值域：y=-x2-6x-5.ブ涤蛭［0,2］.

例6 求函数的值域：y=x+41-x.ブ涤蛭(-∞,5］.

利用代数或三角换元，形如y=ax+b±cx+d(a,b,c,d均为常数，ac≠0)的函数，令cx+d=t；形如含a2-x2的结构的函数，可利用三角代换，令x=a玞osθ，θ∈［0,π］，或令x=a玸inθ,θ∈-π玔]2,π玔]2

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在数学的教学与研究中，类比是进行合情推理的一种非常重要的思维方法.类比是探索问题、解决问题与发现新结果的一种卓有成效的思维方法.类比不仅是一种从特殊到特殊的推理方法，也是一种探索解题思路、猜测问题答案或结论的一种有效的方法.

题型五 利用“平方开方法”转化为二次函数.

例7 求函数f(x)=b-x+x-a（x∈［a,b］，a

值域为［b-a,2(b-a)］.

变式 求函数f(x)=b-kx+kx-ax∈a[]k,b[]k,a0的值域.

类比思维在数学知识延伸和拓广过程中常借助于比较、联想用作启发诱导以寻求思维的变异和发散.许多形式不同的数学习题具有相同或相似的特征，只要理解、掌握了一个问题的特征和解法，应用类比，这类问题就迎刃而解了.应用类比方法，不仅可把抽象的新知识纳入到已有知识系统中来，变抽象为形象、变难为易、变繁为简，同时又可激发学生联想，具有启发思路、举一反三、触类旁通的作用.