浅谈切线长的计算公式与应用及“差”是什么

罗义松

在高中数学的圆的教学中，我们都知道当两圆相交时，将两圆的方程相减消去x2与y2项后所得一次方程是两圆相交弦所在直线的方程，那么两圆相离或相切或内含时差是什么？下面首先从切线长的问题谈起.

一、关于切线长的问题

如图，在坐标系中,已知圆M的方程是(x-a)2+（y-b)2=R2,点A是圆外的一点,它的坐标为(x0,y0）,过点A引圆的切线AT,T为切点.那AT的长度为多少?如果连接MA与MT,则MT⊥AT.由此可知,在玆t△MAT中,AT=MA2-MT2,而M(a,b),故MA=(x0-a)2+(y0-b)2.

又因MT=R,即MT=(x0-a)2+(y0-b)2-R2.

如果我们把圆的方程化成(x-a)2+(y-b)2-R2=0,则MT的计算公式就是把点A的坐标直接代入圆的方程的左边再开方即可.如果再把圆的方程化成一般式:

x2+y2+Dx+Ey+F=0，D2+E2-4F>0，

则MT=x20+y20+Dx0+Ey0+F.从而可得以下定理:

定理 如果圆的方程是f(x,y)=0,点A(x0,y0)是圆外一点,过点A引圆的切线AT（T是一个切点）,那么切线长AT=f(x0,y0).

这里的方程f(x,y)=0可以是一般方程,也可以是由标准方程转化来的.即首先要把圆的方程化成一端是0且x2与y2项的系数为1的情形,之后才能代入这一计算公式.

利用上述定理可以不难得到：当两圆外离时外公切线与内公切线的长或相交、外切时外公切线的长.

若圆M的方程是(x-a)2+(y-b)2=R2，

圆N的方程是(x-m)2+(y-n)2=r2.

当圆M，N外离，如图，

不妨取R>r，以M为圆心，分别以R-r和R+r为半径作圆.

设AB是两圆的外公切线，MA与以R-r为半径的圆交于点C，连接NC，易知NC=AB，

且NC是以R-r为半径的圆的切线.易知以R-r为半径的圆的方程是(x-a)2+(y-猙)2=(R-r)2.

所以，所求外公切线为：AB=NC=(m-a)2+(n-b)2-(R-r)2.

设EF是两圆的内公切线，延长MF与以R+r为半径的圆交于点H，连接NH，则NH=EF，且NH是以R+r为半径的圆的切线.易知以R+r为半径的圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=(R+r)2.

所以，所求内公切线长为：EF=NH=(m-a)2+(n-b)2-(R+r)2.

容易验证：当R

推论 若圆M的方程是(x-a)2+(y-b)2=R2，圆N的方程是(x-m)2+(y-n)2=r2，当它们相交或外切或外离时，

则两圆的公切线长为：(m-a)2+(n-b)2-(R±r)2.

这里，在公式的“R±r”中，求内公切线时取“+”，求外公切线时取“-”，即“内加外减”.

二、“差”是什么

由上述切线问题知，若圆Ａ的方程为f1(x,y)=x2+﹜2+狣1x+E1y+F1=0，圆Ｂ的方程为f2(x,y)=x2+y2+D2x+E2y+F2=0，点Ｍ（x0,y0)是圆Ａ，Ｂ外的一点，则由Ｍ到Ａ，Ｂ的切线长分别为MA=f1(x0,y0)，ＭＢ＝f2(x0,y0)，当ＭＡ＝ＭＢ时，得f1(x0,y0)=f2(x0,y0)，即f1(x0,y0)=f2(x0,y0)，也即是：x20+y20+D1x0+E1y0+F1=x20+y20+D2x0+E2y0+F2.从而可得：

(D1-D2)x0+(E1-E2)y0+(F1-F2)=0，

即点Ｍ的轨迹方程是：

(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.

这个方程就是点Ｍ的轨迹方程，它正好就是两圆的方程相减消去x2与y2项后所得方程.所以将两圆的方程相减消去x2与y2项后所得方程应是到两圆切线长相等的点的轨迹方程.即“差”是到两圆切线长相等的点的轨迹方程.

当两圆相交时，差就是相交弦所在直线方程，即该直线在圆内的部分是相交弦，在圆外部分上的点到两圆的切线长相等，由此还得相交弦的一个性质：

相交弦所在直线在圆外部分上的任一点到两圆的切线长相等.

由上述推理中还可知：点Ｍ是圆Ａ，Ｂ外的一点，则由Ｍ引Ａ，Ｂ的切线，切点分别为Ｃ，Ｄ，切线长ＭＣ与ＭＤ满足MC2=MA2-R2瑼,MD2=MB2-R2瑽,

当切线长相等时有MA2-MB2=R2瑼-R2瑽.由此而得：到两点的距离的平方差为常数的点的轨迹是一直线,这个常数可正，可负，也可以是０.

三、应用举例

例1 (2007年四川)已知⊙O的方程为x2+y2=2,⊙O1的方程为x2+y2-8x+10=0,由动点P分别向⊙O与⊙O1引切线,所得切线长相等,则点P的轨迹方程是.

分析 由上面的“差是什么”可知要求点P的轨迹方程，只需将它们的方程相减消去x2与y2所得一次方程：8x-10=2.即x=3[]2就是点P的轨迹方程.

例2 从圆(x-2)2+(y-3)2=1外一点P(a,b)引圆的切线,切点为Q,O为坐标原点.

(1)若|PO|=|PQ|,求a,b满足的条件.

(2)在（1)的条件下求使|PQ|为最小时点P的坐标.

分析 法一：圆点Ｏ可看成以Ｏ为圆心，半径为零的圆，即方程为x2+y2=0，从而｜ＰＯ｜就可看成点Ｐ到圆x2+y2=0的切线长.由上面的“差是什么”可知点Ｐ的轨迹方程可由x2+y2=0与(x-2)2+(y-3)2=1相减消去x2与y2，可得：4x+6y-13=-1.即2x+3y=6，从而可知：（1）a,b满足：2a+3b=6.（２），因｜ＰＱ｜＝｜ＰＯ｜，故｜ＰＱ｜最小时，就是｜ＰＯ｜最小，这个最小值就是点Ｏ到直线2x+3y=6的距离.最小值为d=6[]22+32=613[]13，此时点Ｐ就是点Ｏ到直线2x+3y=6的垂足，即直线y=3[]2x与2x+3y=6的交点，易得Ｐ12[]13,18[]13.

法二：直接利用切线长的公式处理，解法如下：

解 (1)依定理,|PQ|=(a-2)2+(b-3)2-1,而﹟PO|=猘2+b2.

即:(a-2)2+(b-3)2-1=a2+b2.

∴(a-2)2+(b-3)2-1=a2+b2.即2a+3b-6=0.

(2)由（1)知2a+3b-6=0，ゼ碽=-2[]3a+2.

∴|PQ|=|PO|=a2+b2=a2+-2[]3a+22=13[]9a2-8[]3a+4=13[]9a-12[]132+36[]13.

∴当a=12[]13时，|PQ|取最小值613[]13,此时b=18[]13.

∴|PQ|为最小时点P的坐标为12[]13,18[]13.

例3 （2011年全国大纲卷文科11)设两圆C1,C2都┖土姜坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离﹟C1C2|=().

獳.4B.42C.8D.82

ゼ蛭 如图，两圆均与坐标轴相切，

所以圆心均在直线y=x上，而它们又过点D（4，1），由对称性知它们也过点

〦（1，4）.从而知相交弦方程为x+y=5，易知它与x轴交于点F（5，0），由此知：

FA2=FC2=FD•FG=2×42=8.

∴AC=42，至此易知GH=2AC=8，

可得答案獵.オ

在知道此法的前提下用口算即可知道答案.

仅谈上述供同行参考.