高考中与内切球和外接球相关的几个问题

王永生

近年来在高考中经常有多面体与球的切与接的问题.为了便于学习和掌握此类问题的求解方法，下面结合高考题进行了以下归纳：

问题1 （2006年山东）正方体的内切球与其外接球的体积之比为().

獳.1∶3 B.1∶3 C.1∶33 D.1∶9

解析 设正方体的棱长为a，则它的内切球的半径为1[]2a，它的外接球的半径为3[]2a，故所求的比为1∶33.选獵.

一般地，如右图，r1,r2,r3分别为正方体的内切球、棱切球（与各条棱都相切）与外接球半径，则r1=1[]2a，r2=2[]2a，r3=3[]2a.于是r1∶r2∶r3=1∶2∶3.

应用1 （1995年全国4）正方体的全面积是a2，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是（）.

獳.π玜2[]3獴.π玜2[]2獵.2π玜2獶.3π玜2

解析 由已知正方体的对角线是球的直径，设正方体棱长为x，球半径为R，则6x2=a2,

3x=2R,

∴R=2a[]4，于是球的表面积S＝4π玆2＝4π•2a2[]16=π玜22.选獴.

应用2 （2001年春季北京、安徽13）已知球内接正方体的表面积为S，那么球体积等于.

解析 设球的半径为R，正方体的边长为a，（2R）2＝3a2.又∵6a2＝S,∴3a2＝S[]2，

∴4R2＝S[]2,R＝2S[]4.

又 ∵球的体积为V＝4[]3π玆3,ァ郪＝4[]3π2S[]43=π玈2S[]24.

应用3 （2006年福建）已知正方体外接球的体积是32[]3π，那么正方体的棱长等于().

獳.22B.23[]3C.42[]3D.43[]3

解析 正方体外接球的体积是32[]3π，则外接球的半径㏑=2，正方体的对角线的长为4，棱长等于43[]3，选獶.

应用4 （2006年广东）棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为.

解析 d=33軷=33[]2軸=4π玆2=27π.

问题2 (2003年全国12)一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为().

獳.3πB.4πC.33πD.6π

解析 联想棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，则四面体ACB1D1的棱长都为2，它的外接球也是正方体的外接球，其半径为正方体对角线长3的一半，即有r＝3[]2，故所求球面积为S＝3π.

一般地，对于棱长为a的正四面体，有以下性质：

1.全面积：S=4×3[]4a2=3a2.

2.中截面：S┲薪孛妾=1[]4×3[]4a2=3[]16a2.

3.高、体积：h=3[]2a2-3[]6a2=a2-3[]3a2=6[]3a;V=1[]3S┑酌妾猦=1[]3×3[]4a2×6[]3a=2[]12a3.

4.内切球的半径即为正四面体高度的四分之一，外接球的半径即为高度的四分之三.所以，R=6[]4a,r=6[]12a.

应用1 （2007年陕西理6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）.

獳.33[]4B.3[]3C.3[]4D.3[]12

答案 獴.

应用2 (江苏省启东中学2008年高三综合测试二)正三棱锥P-ABC的四个顶点同在一个半径为2的球面上，若正三棱锥的侧棱长为23，则正三棱锥的底面边长是.

答案 3.

应用3 (湖北省八校高三2008年第二次联考)已知体积为3的正三棱锥V-ABC的外接球的球心为O，满足㎡A+㎡B+㎡C=0,则该三棱锥外接球的体积为.

答案 16[]3π.

思考 （2000年全国联赛一试）一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是.

解析 由正四面体的图像的对称性可知，内切球的球心必为正四面体的中心，球与各棱相切，其切点必为各棱中点，考查三组对棱中点的连线交于一点，即为内切球的球心，所以每组对棱间的距离即为内切球的直径，于是有：2r=2[]2a,∴V=4[]3•π•2[]4a3=2[]24π玜3.

问题3 (湖北黄冈麻城博达学校2008届三月综合测试)正三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，则这个正三棱锥P-ABC的内切球与外接球的半径之比为（）.

獳.1∶3B.1∶(3+3)

C.(3+1)∶3D.(3-1)∶3

解析 如图，不妨设这个正三棱锥侧棱长为1，那么它的底面正三角形的边长为2.由于这个正三棱锥的侧棱两两垂直，故能将它补成长方体.显然，这个正三棱锥与补成的长方体有同一个外接球，∴球半径R=1[]212+12+12=3[]2.这个正三棱锥的体积V=1[]6×PA×PB×PC=1[]6.设其内切球的球心为O，半径为r，那么

1[]3r(S△PAB+S△PAC+S△PBC+S△ABC)=1[]6.

∵S△PAB=S△PAC=S△PBC=1[]2，S△ABC=3[]4(2)2=3[]2,

∴1[]3r1[]2+1[]2+1[]2+3[]2=1[]6.

于是r=1[]3+3,r[]R=3-1[]3.选獶.

一般地，有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.直角四面体有下列性质：

如图，在直角四面体AOCB中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a,OB=b,OC=c,则：

1.体积V=1[]6abc.

2.外切球半径R=1[]2a2+b2+c2.

3.内切球半径r=S△AOB+S△BOC-S△ABC猍]a+b+c.

应用1 （书本玃91：ex7）P，A，B，C是球O面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝1，求球的体积与表面积.

应用2 （2008年福建15）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是.

答案 9π.

应用3 (江西省鹰潭市2008届高三第一次模拟)三棱锥P-ABC的侧棱PA，PB，PC两两垂直，侧面面积分别是6，4，3，则三棱锥的体积是().

獳.4B.6C.8D.10

答案 獳.

应用4 (东北区三省四市2008年第一次联合考试)四面体ABCD中，共顶点A的三条棱两两相互垂直，且其长分别为1，6，3，若四面体的四个顶点同在一个球面上，则这个球的表面积为.

答案 16π.

お