关于圆锥曲线动弦中点的轨迹方程的研究

罗诚 孙小迎

【摘要】解析几何中圆锥曲线动弦中点的轨迹问题，对于一般学生来说是个很难解决的问题，那么对圆锥曲线动弦中点的轨迹的研究就很有必要.从中可以给出一般性的结论，这样不管是在理论研究还是实际问题的计算过程中都有非常实际的应用和指导意义.

【关键词】圆锥曲线;动弦;中点的轨迹;参数法;点差法;定长;定点;定斜率オ

直线与圆锥曲线相交所得动弦的中点的轨迹方程问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考经久不衰的热点.作为少数民族本科预科生应该重点理解并掌握这一知识点.对于圆锥曲线动弦的中点轨迹方程的求法我们常用的方法有以下两种，即参数法和点差法.对于圆锥曲线动弦的中点轨迹问题可分为下列三种情况进行讨论：

一、圆锥曲线中过定点的弦的中点的轨迹

过定点且与椭圆（注：圆为椭圆当长半轴和短半轴相等时的一个特例，可类似地讨论，与以下椭圆的结论类似，不再重复）相交的中点弦的轨迹方程，我们有如下结论成立.

定理1 过平面上一点C(x0,y0)向椭圆x2[]a2+y2[]b2=1引弦，那么其动弦的中点的轨迹方程为:x(x-x0)[]a2+y(y-y0)[]b2=0.

证明 设弦中点坐标为P(x,y)，弦的方程为y-y0=﹌(x-獂0)，代入椭圆方程可得

b2x2+a2［k(x-x0)+y0］2=a2b2，展开后化简得

(b2+a2k2)x2-2(a2k2x0-a2ky0)x+a2(k2x20-2kx0y0+﹜20-猙2)=0.

由韦达定理知x=x1+x2[]2=a2k2x0-a2ky0[]b2+a2k2，且弦的中点也在直线上，所以将k=y-y0[]x-x0代入可得x(x-x0)[]a2+y(y-y0)[]b2=0，此即我们所求弦的中点的轨迹方程.很明显，当点C(x0,y0)在椭圆内时，过C点的任意弦都会与椭圆相交，此时要讨论当弦垂直于x轴的情况；当点C(x0,y0)在椭圆外时，过C点的任意弦不一定都会与椭圆相交.

定理2 过平面上一点C(x0,y0)向双曲线x2[]a2-y2[]b2=1引弦，那么其动弦的中点的轨迹方程为:x(x-x0)[]a2-y(y-y0)[]b2=0.

定理3 过平面上一点C(x0,y0)向抛物线y2=2px引弦，那么其动弦的中点的轨迹方程为:y(y-y0)=2p•x-x0[]2.

二、圆锥曲线中斜率为定值的平行弦的中点的轨迹

定理4 椭圆x2[]a2+y2[]b2=1中斜率为k的平行弦的中点的轨迹方程为:x[]a2+ky[]b2=0.

定理5 双曲线x2[]a2-y2[]b2=1中斜率为k|k|>b[]a的平行弦的中点的轨迹方程为:x[]a2-ky[]b2=0.

定理6 抛物线y2=2px中斜率为k（k≠0）的平行弦的中点的轨迹方程为:ky=p.

三、圆锥曲线中长为定值的弦的中点的轨迹

长为定值的弦的中点的轨迹方程常用点差法来求解，一般的做法是：设其中点坐标为M(x0,y0)，弦与圆锥曲线的交点为A(x1,y1)和B(x2,y2)，利用点差法用x,y表示k〢B，求出直线AB的点斜式方程，再代入圆锥曲线方程，用弦长公式求解即可.

定理7 已知椭圆方程为x2[]a2+y2[]b2=1，那么椭圆中定长为l的弦的中点的轨迹方程为:41-x2[]a2+y2[]b2a4y2+b4x2[]a2y2+b2x2=l2.

定理8 已知双曲线方程为x2[]a2-y2[]b2=1，那么双曲线中定长为l的弦的中点的轨迹方程为:41-x2[]a2-y2[]b2a4y2+b4x2[]a2y2-b2x2=l2.

定理9 已知抛物线方程为y2=2px，那么抛物线中定长为l的弦的中点的轨迹方程为:4(2px-y2)1+y2[]p2=l2.

总之，利用参数法和点差法得出了关于圆锥曲线动弦中点的轨迹的一些非常精练的结论，在实际应用中有非常大的应用，并且对于一些实际的理论起指导作用.オ

【参考文献】オ

［1］薛金星等.高中数学解题方法与技巧.北京：北京教育出版社,2003.

［2］李德宝.巧用点差法解决圆锥曲线中点弦问题.学周刊C版，2010（10）.

［3］黄富春.双曲线中有关中点弦存在性问题的探索.中学数学研究,2006（3）.