一种扑克牌游戏中的数学问题

徐宝 姜玉秋 姜泽

【基金项目】吉林省高等教育教学研究课题.吉林师范大学高等教育教学研究课题.オ

1.问题的提出

扑克牌游戏是一种大众性的游戏，其中蕴含着很多的数学知识，是一种启迪思维，培养探究能力和创新能力的有效载体，可以增加数学知识的直观性、趣味性和娱乐性，激发学生学习数学的兴趣.

有一种消磨时间的单人扑克牌游戏，俗称“捡9”，规则如下：将一副去掉了大小王和獼，Q，K的扑克牌剩余的40张牌洗好后叠成一摞放在手中，从手中扑克牌的一侧取出4张牌放在桌面上排成一行，记为1列、2列、3列、4列，然后依次取牌放在1，2，3，4列上并露出上一张牌的数字，当每列牌满3张时，计算这3张牌上数字的和，如果该和数的尾数是9(即3张牌上数字之和为9，19，29)时，将这3张牌按它们在桌面上从上到下的顺序捡起放在手中扑克牌的另一侧后再依次发牌，在发牌的过程中还要注意每一列牌的顶部和尾部以顶1尾2或顶2尾1的方式组合的3张牌上数字之和，如果该和数的尾数是9，也按它们在桌面上从上到下的顺序捡起放在手中扑克牌的另一侧.当某一列仅剩3张牌且被捡起时，视为这一列消失，按现有列数发牌.游戏顺利进行的结果是手中的牌都会在桌面上旅行一遍或多遍，桌面上的4列牌会依次减少，到最后出现两种情况：(1)桌面上只剩下一张牌(尾牌)，而且手中的牌依次取出的3张数字之和的尾数都是9；(2)桌面没有牌，而手中的扑克牌发牌侧除第一张(头牌)外，其余的牌依次取出的3张数字之和的尾数都是9.当游戏顺利结束时，我们会发现情形(1)中尾牌和情形(2)中的头牌上的数字都是3.这种游戏不是总能顺利进行，当发牌的过程中如果出现桌面上的4列牌都被捡起而导致手中的牌在桌面上无处可放，或者手中的牌都排在桌面上而无牌可捡起这样的情况，表明游戏没完成，只能重新洗牌再玩或放弃该游戏.

这个游戏的实质就是将标有数字1，2，…，10的40张扑克牌按每3张数字加和尾数是9的规则分成13组，剩余一张标有3的牌.由此我们可以提出两个问题：

①尾牌(或头牌)上的数字为什么是3？要想出现别的数字，游戏规则该是怎样的？

②13组牌数字之和分别为9，19，29的组数都可以是多少？

2.问题的解决与延伸

（1）问题①的解决方案

我们知道上述游戏所使用的40张扑克牌上数字之和为(1+2+3+…+10)×4=220，而那13组牌上数字之和的尾数都是9，所以这39张牌上数字之和的尾数为7，因此最后一张牌上数字一定是3，于是，最后一张牌上的数字为其他的游戏规则应该为：捡“n”，尾牌(或头牌)上的数字为“m”，其中n=1,2,…,8,10，m=1,2,4,…,9,10，其中n与m按如下方式确定：13n+m的尾数为0.n与m对应的值由表1给出：

表1 捡“n”游戏最后一张牌上的数字为“m”

(n,m)[](1,7)[](2,4)[](3,1)[](4,8)[](5,5)[](6,2)[](7,9)[](8,6)[](10,10)

（2）问题②的解决方案

由于只有13组牌，所以数字之和为9，19，29的组牌数都在0和13之间，那它们可能各有多少组呢？这大可不必用扑克牌游戏来验证，下面我们给出这个问题的数学解法：

假设数字之和是9的组牌有s9组，和是19的有s19组，和是29的有s29组，于是有方程组：

这是一个含3个未知数的方程组，无法直接解出.我们注意到s9,s19,s29这3个量都是介于0和13之间的整数，作为数学问题我们不必逐个数去试，如果将其中一个未知数定为自由未知数，对它的每一个给定值，由方程组*都可以得到一个二元一次方程组，容易解出另外两个未知数.为了减少计算量，自由未知数的取值个数一定要最少，由于只有4张标有数字10的牌，所以这13组牌中和数是29的最多有2组，于是s29只能在0，1，2中取值，而其他两个数的可能取值个数都大于3，因此我们选择s29作为自由未知数.分别取s29=0,1,2，解对应的三个二元一次方程组，即可得到s9,s19,s29的几种可能值,见表2：

表2 捡“9”游戏中和数为“9”“19”“29”的组牌数

(s9,s19,s29)[](3,10,0)[](4,8,1)[](5,6,2)

(3)问题的延伸

按照问题②的解决方案，我们可以得到捡“0”到捡“8”各游戏中各组牌数的可能情况，见表3，感兴趣的读者自己可以去验证.

3.结束语

数学是一门科学、一种语言、一门艺术、一种思考方式.无论有多抽象，数学中没有哪个知识点是不能运用到现实世界中的事物的，只要我们仔细观察、认真思考，总会在现实世界中发现许多有趣的数学问题，然后用所学知识去解决它，着实是一种乐趣！