和式型Cauchy中值定理、推论及证明

杨金辉

【摘要】文章叙述并证明了和式型獵auchy中值第一定理，给出了线性型推论.并通过加强结论，叙述并证明了和式型獵auchy中值第二定理，给出了线性型推论.

【关键词】和式型獵auchy中值定理;柯西中值定理推广;连续函数オ

引 言 中值定理在微积分理论中占有极其重要的地位，它的应用也非常广泛.由于合分比定理的条件过于苛刻，寻找区间中两个函数的两点的函数值之比来代替两个函数两端点的函数值的线性组合之比，就显得尤为关键.考虑到加法的普遍性，创新性地研究出和式型獵auchy中值第一定理和第二定理.在一般性未必满足的情况下，给出了线性型的推论.

一、和式型獵auchy中值第一定理及其推论

首先给出和式型獵auchy中值第一定理，叙述如下:

定理1(和式型獵auchy中值第一定理)设函数ゝ(x)与ゞ(x)满足

(ⅰ)f(x)与g(x)在［a,b］内连续，

(ⅱ)g(x)在［a,b］内不变号,且g(x)≠0，

则存在μ∈［a,b］,使得

f(μ)[]g(μ)=f(a)+f(b)[]g(a)+g(b).

证明 设函数φ(x)=f(x)[]g(x),则函数φ(x)在［a,b］上连续.由于g(x)≠0，不妨设g(x)>0恒成立.

若f(a)[]g(a)>f(a)+f(b)[]g(a)+g(b)或f(b)[]g(b)>f(a)+f(b)[]g(a)+g(b),

取μ=a或b即可.

若f(a)[]g(a)>f(a)+f(b)[]g(a)+g(b)且f(b)[]g(b)>f(a)+f(b)[]g(a)+g(b)，

前式移项，化简可得

f(a)g(b)>f(b)g(a)，

后式移项，化简可得

f(a)g(b)

显然矛盾.

同理f(a)[]g(a)

φ(a)-f(a)+f(b)[]g(a)+g(b)φ(b)-f(a)+f(b)[]g(a)+g(b)<0.

由连续函数柯西中值定理可知必存在μ∈［a,b］,

使f(μ)[]g(μ)=f(a)+f(b)[]g(a)+g(b).

证毕.

推论1(和式型獵auchy中值第一定理线性型推论)设函数f(x)与g(x)满足

(ⅰ)f(x)与g(x)在［a,b］内连续，

(ⅱ)g(x)在［a,b］内不变号,且g(x)≠0，

(ⅲ)存在非零实数n1,n2满足

n1g(a)+n2g(b)≠0，

则存在μ∈［a,b］,使得

f(μ)[]g(μ)=n1f(a)+n2f(b)[]n1g(a)+n2g(b).

证明 设函数φ(x)=f(x)[]g(x),则函数φ(x)在［a,b］上连续.由于g(x)≠0，不妨设g(x)>0恒成立.

若f(a)[]g(a)=n1f(a)+n2f(b)[]n1g(a)+n2g(b)或f(b)[]g(b)=n1f(a)+n2f(b)[]n1g(a)+n2g(b)，

取μ=a或b即可.

若f(a)[]g(a)>n1f(a)+n2f(b)[]n1g(a)+n2g(b)且f(b)[]g(b)>n1f(a)+n2f(b)[]n1g(a)+n2g(b)，

前式等号左边分子分母都乘以n1移项，化简可得

n1n2［f(a)g(b)-f(b)g(a)］>0，

后式等号左边分子分母都乘以n2移项，化简可得

n1n2［f(a)g(b)-f(b)g(a)］<0，

显然矛盾.同理

f(a)[]g(a)

也可得到矛盾.故

φ(a)-n1f(a)+n2f(b)[]n1g(a)+n2g(b)φ(b)-n1f(a)+n2f(b)[]n1g(a)+n2g(b)<0.

由连续函数柯西中值定理可知必存在μ∈［a,b］,使

f(μ)[]g(μ)=n1f(a)+n2f(b)[]n1g(a)+n2g(b).

证毕.

二、和式型獵auchy中值第二定理及其推论

事实上，可以适当加强第一定理中的条件，得到第二定理：

定理2(和式型獵auchy中值第二定理)设函数ゝ(x)与ゞ(x)满足

(ⅰ)f(x)与g(x)在［a,b］内连续，

(ⅱ)g(x)在［a,b］内不变号,且g(x)≠0，

(ⅲ)对于第一定理中的某个μ，有

［f(a)-f(μ)］［g(b)-g(μ)］>0或［f(b)-f(μ)］•［g(a)-猤(μ)］>0，

则存在μ1,μ2∈［a,b］,使得

f(μ1)[]g(μ2)=f(a)+f(b)[]g(a)+g(b)，且μ1≠μ2.

证明 设函数φ(x)=f(x)[]g(x),则函数φ(x)在［a,b］上连续.由于g(x)≠0，不妨设g(x)>0恒成立.

由第一定理知，存在μ∈［a,b］,使

f(μ)[]g(μ)=f(a)+f(b)[]g(a)+g(b).

不妨设这个μ即为条件(ⅲ)中的μ,且有

［f(a)-f(μ)］［g(b)-g(μ)］>0成立.

显然μ∈［a,b］.

(1)若f(a)+f(b)=0，即f(μ)=0，此时取μ1=μ,μ2取异于μ1且在［a,b］中的点即可.

(2)若f(a)+f(b)>0,即f(μ)>0，

①若f(a)-f(μ)>0,g(b)-g(μ)>0,可得

f(a)>0,m=f(a)[]f(μ)>1,n=g(b)[]g(μ)>1.

若m>n>1,由f(x)的连续性可知靓酞1∈(a,μ)使得

f(μ1)[]f(μ)=n.

即f(μ1)[]f(μ)=g(b)[]g(μ),f(μ1)[]g(b)=f(μ)[]g(μ).

取μ2=b即可，此时有

f(μ1)[]g(μ2)=f(μ)[]g(μ)=f(a)+f(b)[]g(a)+g(b).

若n>m>1,由g(x)的连续性可知靓酞2∈(μ,b)使得

g(μ2)[]g(μ)=m.

即f(a)[]f(μ)=g(μ2)[]g(μ),f(a)[]g(μ2)=f(μ)[]g(μ).

取μ1=a即可，此时有

f(μ1）[]g(μ2)=f(μ)[]g(μ)=f(a)+f(b)[]g(a)+g(b).

若m=n>1,

即f(a)[]f(μ)=g(b)[]g(μ),f(a)[]g(b)=f(μ)[]g(μ).

取μ1=a,μ2=b即可，此时有

f(μ1)[]g(μ2)=f(μ)[]g(μ)=f(a)+f(b)[]g(a)+g(b).

②若f(a)-f(μ)<0,g(b)-g(μ)<0,设

m=f(a)[]f(μ)<1,n=g(b)[]g(μ)<1.

若f(a)>0,类似①中的讨论可证得.

若f(a)<0,由于f(μ)>0,以及连续函数的保号性,必靓酞1∈(a,μ)使得

f(μ1)[]f(μ)=n.

从而有f(μ1)[]f(μ)=g(b)[]g(μ),f(μ1)[]g(b)=f(μ)[]g(μ).

取μ2=b,此时有

f(μ1)[]g(μ2)=f(μ)[]g(μ)=f(a)+f(b)[]g(a)+g(b).

(3)若f(a)+f(b)<0,即f(μ)<0.讨论方法与(2)类似，在此不再赘述.

结合和式型獵auchy中值第二定理和和式型獵auchy中值第一定理的推论，可得和式型獵auchy中值第二定理的推论.

推论2(和式型獵auchy中值第二定理线性型推论)设函数f(x)与g(x)满足

(ⅰ)f(x)与g(x)在［a,b］内连续，

(ⅱ)g(x)在［a,b］内不变号,且g(x)≠0，

(ⅲ)对于第一定理中的某个μ，有

［f(a)-f(μ)］［g(b)-g(μ)］>0或ィ踗(b)-f(μ)］［g(a)-猤(μ)］>0，

(ⅳ)存在非零实数n1，n2满足

n1g(a)+n2g(b)≠0，

则存在μ1,μ2∈［a,b］,使得

f(μ1)[]g(μ2)=n1f(a)+n2f(b)[]n1g(a)+n2g(b)，且μ1≠μ2∈［a,b］.

オ

【参考文献】オ

华东师范大学数学系.数学分析(第三版)上册［M］.北京:高等教育出版社，2001：125-133.オ