行列式的一种计算技巧及其应用

程波 何铭凯

【摘要】本文首先介绍了行列式计算的一种技巧，然后将此技巧应用到特征多项式的计算，得到图谱理论中一类图的特征多项式.

【关键词】行列式；特征多项式；图谱

【基金项目】广东外语外贸大学大学生创新实验项目资助

行列式的计算是高等代数、线性代数等课程的一个重要内容.n级行列式

玠et玜11猍]a12猍]…[]a1n

a21猍]a22猍]…[]a2n

骩]骩]鱗]螵

a﹏1猍]a﹏2猍]…[]a﹏n

等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积

a1﹋1猘2﹋2…a﹏﹋璶（1）

的代数和，这里j1j2…j璶是1,2,…,n的一个排列，每一项（1）都按下列规则带有符号：当j1j2…j璶是偶排列时，（1）带有正号；当j1j2…j璶是奇排列时，（1）带有负号.

这一定义可写成

玠et玜11猍]a12猍]…[]a1n

a21猍]a22猍]…[]a2n

骩]骩]鱗]螵

a﹏1猍]a﹏2猍]…[]a﹏n=А苆1j2…j璶(-1)│(j1j2…j璶)•a1﹋1猘2﹋2…a﹏﹋璶，

这里А苆1j2…j璶П硎径运有n级排列求和.

定义表明，为了计算n级行列式，首先作所有可能由位于不同行不同列元素构成的乘积.把构成这些乘积的元素按行指标排成自然顺序，然后由列指标所成的排列的奇偶性来决定这一项的符号.

除定义外，主要的计算方法有拉普拉斯降阶方法、三角化方法、递推法等，参见文献［1］和［2］.以下我们介绍爪型行列式的一种计算方法，并应用它来求一类图的特征多项式.

1.爪型行列式的计算方法

我们通过一个例子来介绍爪型行列式的这种计算方法.

例 计算行列式

玠et玜0[]b1[]b2[]b3

c1[]a1

c2[][]a2

c3[][][]a3

，

其中a1，a2，a3均不为0.

解 将行列式第2列、第3列、第4列分别提取因子a1，a2，a3，然后把上述列的-c1倍，-c2倍，-c3倍都加到第1列，则原行列式转化成上三角形行列式，所以

г式=a1a2a3a0 b1[]a1 b2[]a2[SX)] b3[]a3

c1 1

c21

c31

=a1a2a3a0-∑3[]i=1b璱c璱[]a璱

.

2.在图谱理论中的应用

图谱理论研究图的各种对应矩阵的谱性质，图的无符号拉普拉斯矩阵是近年来在图谱研究中十分活跃的课题，参见文献［3］.

设G是一个图，v1,v2,…,v璶是它的所有顶点，那么n阶矩阵A=(a﹊j)称为G的邻接矩阵，其中a﹊j=1, 若v璱与v璲邻接，

0，其他.

定义D为对角阵玠iag(d1,d2,…,d璶)，其对角元d璱为v璱在G中的度数.那么A+D称为G的无符号拉普拉斯矩阵.

A+D的特征多项式的计算并不是一件容易的事情，下面利用前面介绍的行列式计算技巧计算一类图的无符号拉普拉斯矩阵的特征多项式.

设有c条相互独立的边及（n-2c）个孤立点，在其中取一个孤立点，将这点与其他（n-1）个点都连接，这样得到的图称为花束图，这类图在文献［4］中讨论过.

对于这类图，A=0[]J1,n-2c-1猍]J1,2c

，其中0表示零矩阵，J﹑,q表示p×q阶全1矩阵，F璽=

2t×2t，

而且D=玠iag(n-1,1,…,1,2,…,2).

那么A+D的特征多项式

Φ(A+D,x)=玠et玿-n+1[]-J1，n-2c-1猍]-J1,2c

-J﹏-2c-1,1猍](x-1)•I﹏-2c-1猍]0

-J2c,1猍]0[](x-2)•I2c-F璫，

其中I璸表示p阶单位矩阵.从而上述行列式第2列、第3列、……、第（n-2c）列分别提取因子(x-1)，然后把上述列都加到第1列，降阶得到

Φ(A+D,x)=(x-1)﹏-2c-1•玠et玜-J1,2c

-J2c,1 (x-2)•I2c-F璫

，

这里a=x-n+1-n-2c-1[]x-1.

进一步计算，得

Φ(A+D,x)=(x-1)﹏-2c-1(x-3)(x-1)•┆玠et玜-2[]x-3 -J1,2c-2

-J2c-2,1 (x-2)•I2c-2-Fヽ-1=(x-1)﹏-2c-1(x-3)琧(x-1)琧•a-2c[]x-3=（x-1)﹏-2c-1(x-3)琧(x-1)琧•﹛-猲+1-n-2c-1[]x-1-2c[]x-3

=(x-1)﹏-c-2(x-3)ヽ-1(x3-(n+3)x2+3nx-4c).

这里我们反复运用上述行列式的计算技巧，得到了最后的结果.