一道高考题的再研究

刘家松

在高三第一轮导数复习中，遇到一道高考题（2008年高考数学全国卷Ⅱ文科第21题），感觉学生做起来很是吃力，教师讲起来很费劲，为了更好地解决此题，作如下探究：

题目 设a∈R,函数f(x)=ax3-3x2.(Ⅰ)若x=2是函数y=f(x)的极值点,求a的值；(Ⅱ)若函数g(x)=f(x)+ゝ′(x),x∈［0,2］,在x=0处取得最大值,求a的取值范围.

本题主要考查函数的极值点与导数的关系、函数最直接的求法以及分析问题和解决问题的推理能力.标准答案如下:

解 （Ⅰ）f′(x)=3ax2-6x=3x(ax-2).

∵x=2是函数y=f(x)的极值点，

∴f′(2)=0，即6(2a-2)=0，因此a=1.

经验证，当a=1时，x=2是函数y=f(x)的极值点.

(Ⅱ)由题设，g(x)=ax3-3x2+3ax2-6x=ax2(x+3)-3x(x+2).

当g(x)在区间［0,2］上的最大值为g(0)时，g(0)≥ゞ(2)，即0≥20a-24.故得a≤6[]5.

反之，当a≤6[]5时，对任意x∈［0,2］，

g(x)≤6[]5x2(x+3)-3x(x+2)=3x[]5(2x2+x-10)=3x[]5(2x+5)(x-2)≤0，

而g(0)=0，故g(x)在区间［0,2］上的最大值为g(0).

综上，a的取值范围为-∞,6[]5.

第(Ⅰ)小题，题目简单明了，易于得分，属送分题，但要注意检验.在此类题中，有一道广泛流传于各类资料的错题.

题目 设函数f(x)=ax3-(ax)2-ax-a在x=1处取得极大值-2，求a的值.

对于本题，多数学生易得出答案a=1，而忽略检验.实际上，a=1时，在x=1处取得极小值，所以，a不存在.

第(Ⅱ)小题题目简短明了,短小精悍，它源于教材,而高于教材,标准答案分析巧妙,解法独特,从正反两个方面进行了分析解答,但与老师和学生的思维相距甚远,而我们仔细读题，不难观察到：g(0)=0.由此，就第(Ⅱ)小题,现解答如下:

解 g(x)=ax3+3(a-1)x2-6x，∵g(0)=0，

∴问题可以转化为：当x∈［0,2］时，g(x)≤0恒成立.

又 g(x)=a(x3+3x2)-(3x2+6x),

当x=0时，a∈R；

当0

a≤3t[]t2-t-2=3[]t-2[]t-1,对t∈(2,4］恒成立,

∴a≤3[]4-1[]2-1=6[]5.

综上所述，a的取值范围为-∞,6[]5.

点评 第(Ⅰ)问体现了对极值点的“检验”的重要性；第(Ⅱ)问巧妙挖掘了一个隐含条件g(0)=0，把目标链接起来，盘活了全局.

在上面的解题过程中，我们不难看出对隐含条件的挖掘的重要性：它的挖掘能为我们提供解题思路，成为解决有关问题的有力手段.诸如此类的例子还有很多,再看下面一道题目：

题目 二次函数f(x)的导函数f′(x)=2x+b,且f(0)=c.若函数F(x)=f(x)+2-c的定义域为［-1,1］,且F(x)的最小值为2,当方程f(x)=0在区间［-1,1］上有实数根时,求实数c的取值范围.

分析 本题考查的是含参二次函数在区间上求最值的问题，通法当然是运用分类讨论思想求b，然而，我们不妨仔细观察，不难挖掘一个隐含条件F(0)=2，得出如下解法：

解 由题易得f(x)=x2+bx+c,

∴F(x)=x2+bx+2的对称轴方程是x=-b[]2，且x∈［-1,1］.

又 ∵F（0）=2，F（x)┆玬in=2，

∴-b[]2=0,故b=0.

∴f(x)=x2+c，由f(x)=x2+c=0,得c=-x2.ァ選∈［-1,1］，∴-x2∈［-1,0］.

∵f(x)=x2+c=0在区间［-1,1］上有解，∴c的取值范围为［-1,0］.

点评 此法巧妙挖掘了一个隐含条件F(0)=2,避免了繁杂的分类讨论，使得问题的解决得以简化.

有兴趣的读者不妨做下面这道题：

题目 已知定义在R上的函数f(x)=x2(2ax-3)，其中a为常数.

（1）若a≥0，求证：函数f(x)在区间(-∞,0)上是增函数；

（2）若函数g(x)=f(x)+f′(x),x∈［0,1］，在x=0处取得最大值，求正数a的取值范围.