多角度思考 一题多解

姜灵灵

对于一个数学问题，若能根据已知与要求之间的关系，发散思维，善于联系，多角度深入地思考，可以得到多种不同的解法，从而训练思维的广阔性、灵活性、深刻性.

例题 如图,在△ABC中，已知AB=3，AC=6，BC=7，AD是∠BAC平分线.求证：DC=2BD.

思路一 应用正弦定理

法一 由题意知,オ玸in∠ADB=玸in(π-∠ADC)=玸in∠ADC.

∵AD是∠BAC平分线，ァ唷螧AD=∠CAD，

玸in∠BAD=玸in∠CAD.

ピ凇鰽BD与△ADC中，由正弦定理得

AB[]玸in∠ADB=BD[]玸in∠BAD,AC[]玸in∠ADC=CD[]玸in∠CAD.

两式相除，得AB[]AC=BD[]CD.∵AB=3,AC=6,∴DC=2BD.

点评 这种解法是看到角平分线产生角所对的边与题目隐藏条件∠ADB，∠ADC所对的边的关系恰符合正弦定理.

思路二 应用三角形面积

法二 过D作DE⊥AB于E点，DF⊥AC于F点，过A作AN⊥BC于N点.

∵AD是∠BAC平分线，ァ郉E=DF，S△ADB=1[]2AB•DE=1[]2BD•AN，

S△ADC=1[]2AC•DF=1[]2DC•AN，两式相除，得

AB[]AC=BD[]CD.∵AB=3,AC=6,∴DC=2BD.

点评 这种解法是利用角平分线的定理得到结论，根据三角形面积表示的多样性联系起来解题.

思路三 应用余弦定理

法三 取AC的中点G，连DG，∵AB=3,AC=6,ァ郃B=AG=3.

∵AD是∠BAC平分线，ァ唷螧AD=∠CAD.ァ逜D=AD,∴△ADB≌△ADG,

∴BD=DG.设BD=DG=x,DC=7-x，

玞os∠C=72+62-32[]2×6×7=32+(7-x)2-x2[]2×3×(7-x)，

解得BD=x=7[]3,DC=14[]3,即DC=2BD.

法四 ∵AD是∠BAC平分线，ァ唷螧AD=∠CAD=1[]2∠BAC，

∴玞os∠BAD=玞os∠CAD,∠BAD=∠CAD∈0,π玔]2,

∴玞os∠BAC=2玞os2∠BAD-1=2玞os2∠CAD-1.ァ逜B=3,AC=6,BC=7,

∴玞os∠BAC=32+62-72[]2×3×6=-1[]9,ァ嗒玞os∠BAD=玞os∠CAD=2[]3.

设BD=x,DC=7-x,在△ABD与△ADC中，由余弦定理得

x2=32+AD2-2×3×2[]3AD,

(7-x)2=62+AD2-2×6×2[]3AD,

00,

解得BD=x=7[]3,DC=14[]3,∴DC=2BD.

点评 利用题目中给的边的数据和角平分线，利用余弦定理求出边，从而命题得证.

思路四 应用相似三角形

法五 过C作CH∥AB，交AD的延长线于H点，

∴∠BAD=∠AHC,∠ABD=∠HCD.

∴△ABD∽△HCD,ァ郆D[]CD=AB[]CH.

∵AD是∠BAC平分线，オオオオァ唷螧AD=∠CAD=∠AHC，

∴AC=CH.∵AB=3,AC=6,∴DC=2BD.

法六 过B作BM∥AC，交AD的延长线于M点，

∴∠CAD=∠AMB，∠MBD=∠ACD，ァ唷鱉BD∽△ACD,

ァ郆D[]CD=MB[]CA.ァ逜D是∠BAC平分线，ァ唷螧AD=∠CAD=∠AMB，ァ郃B=BM.∵AB=3，AC=6，∴DC=2BD.

法七 过B作BO∥AD，交CA的延长线于O点，

∴∠BAD=∠OBA，ァ螩AD=∠COB，ァ螩DA=∠CBO.

∴△CDA∽△CBO,ァ郆C[]CD=OC[]CA.

∵AD是∠BAC平分线，

∴∠BAD=∠CAD=∠AOB=∠ABO，

∴AB=BO.ァ逜B=3，AC=6，∴DC=2[]3BC.

∵BC=BD+DC,∴DC=2BD.

这是一道苏北四市在2010年10月份模拟试卷上的第15题，可以灵活运用多种知识与方法加以解决.本文提供了4种思路的7种解法，涉及正弦定理、余弦定理、三角形面积等相关知识的应用.