巧用抛物线的定义解题

胡洪波

平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.抛物线的定义，是解决有关抛物线问题的重要工具.巧用抛物线的定义解题，可以化难为易，使思路简洁，运算简便，提高解题的速度和解题的正确率，提升解题的质量.下面举例说明.

一、求坐标问题

例1 已知抛物线x2=4y上的一点M到焦点的距离为5，求点M的纵坐标.

分析 利用抛物线的定义，把点M到焦点的距离转化为点M到准线的距离求解.

解 抛物线x2=4y的焦点是F（0，1），准线l的方程是﹜=-1.设点M的纵坐标为y璏，作MN⊥l于点N，则y璑=-1.

由抛物线定义和题意，得|MN|=|MF|=5.∵MN⊥l，ァ鄚MN|=|y璏-y璑|=|y璏-(-1)|=|y璏+1|=5.

又由抛物线x2=4y，得y璏>0，

∴y璏+1=5，∴y璏=4，∴点狹的纵坐标是4.

点评 本题可以列出方程组求解，但是应用抛物线的定义解题，运算比较简易.

二、求参数问题

例2 若抛物线y2=4px上的点M到焦点F的距离为3，且x璏=2，求p的值.

分析 利用定义，把点M到焦点F的距离转化为点M到准线的距离，可简化运算.

解 抛物线y2=4px的准线l的方程是x=-p.根据抛物线的定义，可得点M到焦点F的距离等于点M到准线l的距离，于是有2-(-p)=|MF|=3，得p=1.

点评 求参数的问题很多，方法也很多，不同的问题有不同的解法，有些题是一题多解，有些题解法唯一，其中一题多解法又有最佳解法，要注意方法的选用.

三、求最值问题

例3 已知点P在焦点为F的抛物线x2=4y上，点A（－2，6），求（｜PA｜+｜PF｜）┆玬in.

分析 |PF|等于点P到抛物线的准线l的距离d，(|PA|+﹟PF|)┆玬in=(|PA|+d)┆玬in.

解 过抛物线x2=4y上点P作其准线l：y=-1的垂线，垂足为M，则y璏=-1.

把点A(-2,6)的横坐标x=-2代入抛物线方程x2=4y，得y=1.

∵y瑼=6>1,∴点A在抛物线的内部.由抛物线定义知|PA|+|PF|=|PA|+﹟PM|，

又由三角形三边关系定理，可得当PA⊥l时，即点A,P,M三点共线时，|PA|+|PM|最小，即|PA|+|PM|=﹟AM|.

∵|AM|=|y瑼-y璏|=|6-(-1)|=7，∴(|PA|+﹟PF|)┆玬in=7.

点评 此题是距离之和的最值问题，若采用函数的最值法是难以得解的，而用抛物线定义，通过数形结合和三角形的三边关系定理求解，思路清晰巧妙，运算简易.

类型题 设点P是抛物线y2=4x上的一个动点，则点P到点A(6,-12)的距离与到抛物线的准线的距离之和的最小值是多少？

分析 与例3类同.点A在抛物线外，连接点A和焦点F，交抛物线于一点，此交点即为动点P到点A的距离与到抛物线的准线的距离之和的最小值的对应点.

四、求面积问题

例4 过抛物线y2=4x上一点P作其准线的垂线，垂足为A，设抛物线的焦点为F，且|PF|=9，求△APF的面积.

分析 由抛物线的定义得点P到焦点F的距离|PF|等于点P到准线的距离|PA|.

解 设P(y20,y0).∵抛物线y2=4x的准线是x=-1，ス蕓PF|=|PA|=y20+1=9，

∴y0=±22，ァ郤△APF=|PA|×|y0|÷2=9×22÷2=92.

点评 本题可以列出方程组求解，但是用抛物线的定义求解，运算更加简易.

五、求抛物线焦点弦长的问题

例5 设直线AB过抛物线y2=4x的焦点F，且交抛物线于A,B两点，若弦AB的中点M的横坐标为3，求弦长AB的值.

分析 利用抛物线的定义和线段中点坐标的公式求解，思路巧妙简洁，运算量少.

解 设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=2x璏=2×3=6.因抛物线y2=4x的准线是l：x=-1，则过点A作AP⊥l于点P，过点B作BQ⊥l于点Q，得x璓=-1,x璔=-1.由定义得弦长AB=|AF|+|BF|=|AP|+|BQ|=|x1-x璓|+﹟x2-獂璔|=x1+x2+2=8.

点评 若用平面上两点间的距离公式求|AB|，需设出直线AB的方程，与抛物线方程联立方程组求解，运算量较大，而用抛物线定义求解，思路简洁，运算简易.

六、求轨迹问题

例6 设动点M满足方程5（x-1)2+(y+1)2=﹟4x+3y-12|，求动点M的轨迹.

分析 由点到直线的距离公式和抛物线的定义，直接可判定动点M的轨迹是以点(1,-1)为焦点，以直线4x+3y-12=0为准线的抛物线.这是非标准式的抛物线.

若将方程两边平方后整理，不易分析轨迹类型.体现出巧用抛物线定义的优越性.

以上从六个方面阐述了抛物线定义的应用，从这些例子中可以看出，在特定的条件下，巧用抛物线的定义解题，具有其特定的必要性和优越性.“回归定义”是数学解题最原始﹑最基本的方法，有时也是最有效的方法﹑最巧妙的方法.在解决圆锥曲线问题时，特别要注意树立“用定义解题”的意识.许多圆锥曲线的问题具有几何意义，若能结合定义挖掘题中隐含的几何意义，常可巧妙快速解题.