向量中的除法运算向量中的除法运算

望西军 宋开福

【摘要】探究向量的除法运算，给出向量除法运算的运用.

【关键词】向量；向量的除法オ

向量，它既有大小（数），又有方向（形），因而向量是数的一部分.在数轴上的向量坐标是一个实数a（它的起点在原点0，终点对应这个实数a）；在平面中的向量坐标是实数对（x，y）（它的起点在原点（0，0），终点对应这个点（x，y））；在空间中的向量坐标是三实数组（x，y，z）（它的起点在原点（0，0，0），终点对应这个点（x，y，z））.在这个意义上，向量可以看作实数的一种推广.另一方面，在数学的发展史上，复数（x+y玦）曾被推广到四元素（x玦+y玧+z玨+a），而其中的﹛玦+獃玧+z玨被发展成现在的向量.向量运算有着自身的特点，有些运算律与实数相同，有些与实数运算律不相同.

向量自有加、减、数乘及数量积运算之时，人们就已经研究过除法运算问题，然而几百年来，前人没有留下关于向量除法的文字，也没有看到关于向量除法的解释.向量，你真的没有除法运算吗？

我们先看一个例子，求方程（x2-3）(x2+1)=0的解.

1.当x为有理数时，解集x∈В华

2.当x为实数时，解集x∈{±3}；

3.当x为复数时，解集x∈{±3,±玦珆.

如果回答方程（x2-3）(x2+1)=0无解、有两解或有四解都不对，因为它在不同的范围内，解集不同.

对向量的除法运算也应如此.

设a，b都是非零的向量：

（1）当a与b不共线时，a[]b没有意义；

（2）当a,b共线时赼[]b=λ∈R

当a，b同向时，λ=|a|[]|b|;当a,b反向时，λ=-|a|[]|b|.

由此可见，向量的除法运算是共线向量范围内存在的一种运算，向量a,b共线的表示a=λb实质上是向量除法的变形记法.

下面再来看向量除法运算的运用.

(1）向量除法在判断两向量共线方面的运用.

例1 （新课标《数学》2004年版必修4教材（玃98）例6）已知a=（4，2），b=（6,y），且a∥b，求y.

解 由a∥b輆[]b=2(2,1)[]3(2,y/3)∈R輞=3.

例2 （新课标《数学》2004年版必修4教材（玃98）例7）已知A(-1，-1),B(1，3),C(2，5),判断A，B，C三点之间的位置关系.

解 ∵〢B=(2,4),〢C=(3,6)莳〢B猍]〢C=2[]3,

∴〢B∥〢C.又AB∩AC=A,

∴A,B，C三点共线.

（2）向量除法在线段的定比分点中的运用.

例3 设点P1(x1,y1)，P2(x2，y2)，点P(x,y)分有向线段㏄1P2为λ，即㏄1P=λ㏄P2（λ∈R，且λ≠-1），求P1,P2,P之间的关系.

解

如图，㏄1P猍]㏄P2=|㏄1P獆[]|㏄P2獆=x-x1[]x2-x=y-y1[]y2-y=λ，或オ㏄1P猍]㏄1P2=|㏄1P獆[]|㏄1P2獆=x-x1[]x2-x1=y-y1[]y2-y1=λ[]λ+1.

向量除法将向量、向量的模及点的坐标连在一起.

例4 (新课标《数学》2004年版必修4教材(玃101)练习第7题)已知A(2,3),B(4,-3),点P在线段AB的延长线上，且|〢P獆=3[]2|㏄B獆，求点P的坐标.

解

设点P的坐标为（x，y），则

〢B猍]〢P=2[]x-2=-6[]y-3=1[]3,∴P(8，-15).

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普通高中课程标准实验教科书必修4《数学》A版.