浅谈高中数学中的一类导数题

沈 凯

一次在本校的听课学习中听到了这样一道题目：

例1 （2009年南京一模，14）已知函数f(x)=ax-x4,﹛∈1[]2,1,A,B是其图像上不同的两点.若直线AB的斜率k总满足1[]2≤k≤4，则实数a的值是.

本题做对答案的学生寥寥几个，上课教师请了一名学生回答.

由已知，f′(x)=a-4x3∈a-4,a-1[]2，

则由导数的几何意义知a-4≥1[]2,

a-1[]2≤4.

故a=9[]2.

但是该学生也解释不清这样做的原因.教师略加思考后说道，该题其实用到了你们到大学即将要学的拉格朗日中值定理，即若闭区间上有一条连续曲线，曲线上每一点都存在切线，则曲线上至少存在一点M，过点M的切线平行于割线AB.然后这道题目就这样解释过去了，当时没有学生或老师提出疑问.

过后几天本校的一次测试考到了这样一道题目：

例2 已知函数f(x)=1[]2x2-ax+(a-1)玪n玿(x>0),设x2>x1>0，都有f(x2)-f(x1)[]x2-x1>-1，则实数a的取值范围是.

答案 ［1,5］ズ芏嘌生的错误答案都是［1,5).后询问学生，他们的做法是：

把f(x2)-f(x1)[]x2-x1>-1理解成f′(x)=x-a+a-1[]x>-1对任意的x∈(0,+∞)恒成立，则把上述不等式整理成x2+(1-a)x+a-1>0，由二次函数的图像可知，

a-1[]2≤0,

f(0)=a-1≥0

或者a-1[]2>0,

fa-1[]2>0.

ソ庵得1≤゛<5.

事实上，将a=5的这种特殊情况拿出来考虑就知道错误原因了.当a=5时可以证明任意一条割线的斜率都大于-1，但是在x=2处切线的斜率等于-1.也就是函数图像上并不是任意一点的切线斜率都与某一条割线斜率相等.

以一简单函数为例，P,Q是函数y=x2-x(-1≤x≤1)图像上任意两点，P,Q段上任意一点切线的斜率的取值范围是y′=2x-1(-1≤x≤1)，即为［-3,1］.但是在P,Q段上不可能有割线斜率是-3和1.

证明 设P(x1,x21-x1)，Q(x2,x22-x2),ピ騥㏄Q=x21-x1-(x22-x2)[]x1-x2=x1+x2-1.

若k㏄Q=1，则x1+x2=2，这不可能.

这就是例2发生错误的原因.曲线上任意两点间的割线斜率是这两点间任意点处切线斜率的子集.由于导数是个极限的概念，由极限的保号性可得下面两个命题：

命题1 如果函数f(x)在闭区间［a,b］上可导(在端点处单侧可导)，设A,B是其图像上不同的两点.若直线AB的斜率k总满足m≤k≤M或m

命题2 如果函数f(x)在闭区间(a,b)上可导，设A,B是其图像上不同的两点.若直线AB的斜率k总满足m≤﹌≤狹或m

所以例2的正确做法应该把f′(x)>-1改成f′(x)≥-1便能解出正确答案.

以上做法中学生很难接受，采用以下做法便水道渠成了.以第二题为例：

解 ∵x2>x1，

∴条件f(x2)-f(x1)[]x2-x1>-1变形为f(x2)-f(x1)>x1-x2，ゼ

f(x2)+x2>f(x1)+x1，

即函数g(x)=f(x)+x在(0,+∞)上单调递增，

∴g′(x)≥0恒成立,

即f′(x)≥-1恒成立.下面相同.

同理第一题也可用类似方法解出.

反思：现在高中数学的教学与大学课程联系紧密，这就对高中教师的业务水平提出了更高的要求.对于题目的讲解既要清晰，又要让学生容易接受，才能使学生下次碰到类似问题能正确地解答.