一种求1∞型未定式极限的简便方法

王群智

【摘要】两个重要极限是《高等数学》中求极限的主要方法之一，但利用其中第二个重要极限求其他较复杂的1∞型未定式极限过程相当繁琐，初学者很难掌握.本文给出了一种求这类极限的简便方法，不但行之有效，而且方便易学，相信会对求这类极限起到事半功倍的作用.

【关键词】两个主要极限；1∞型未定式；简便方法；对比オ

在《高等数学》中，利用两个重要极限求其他极限是求极限的重要方法.但其中凡能利用第一个重要极限﹍im玿→0玸in玿[]x=1求出的极限，均可利用等价无穷小量代换简便求出；而利用第二个重要极限﹍im玿→∞1+1[]x瑇=玡（或﹍im玿→0(1+x)1[]x=玡）求其他极限时显得非常繁琐，学生很难在短时间内掌握.比如下面两例中，通常的解法是这样的：

例1 求﹍im玿→∞1-1[]x3x+5.

解 令t=-x，则当x→∞时，有t→∞，于是有

﹍im玿→∞1-1[]x3x+5=﹍im玹→∞1+1[]t-3t+5=﹍im玹→∞1+1[]t瑃

-3•﹍im玹→∞1+1[]t5=玡-3•15=玡-3.

例2 求﹍im玿→01-2x[]1+3x1[]x.

解 ﹍im玿→01-2x[]1+3x1[]x=﹍im玿→0（1-2x）1[]x[]﹍im玿→0(1+3x)1[]x=﹍im玿→0(1-2x)-1[]2x-2猍]﹍im玿→0(1+3x)1[]3x

3=﹍im玹→0(1+t)1[]t

-2猍]﹍im玸→0(1+s)1[]s

3=玡-2猍]玡3=玡-5.

其中t=-2x，s=3x.

从上面求解过程可以看出，例1中用到了第二个重要极限的第一种形式：﹍im玿→∞1+1[]x瑇=玡，例2中用到了第二个重要极限的第二种形式：﹍im玿→0(1+x)1[]x=玡.这两种形式的本质是相同的，都属于1∞型未定式，但求解过程比较繁琐.下面给出求这类极限的一种简便方法.

定理1 设对于函数f(x)与g(x)，有玪im玣(x)=┆玪im玤(x)=∞，且玪im玤(x)[]f(x)=A，其中A为常数，则玪im1+1[]f(x)

ゞ(x)=玡獳.

证 令h(x)=1+1[]f(x)

ゞ(x)，ピ颡玪n玥(x)=g(x)玪n1+1[]f(x)

.

由定理假设可知f(x)为无穷大量，则1[]f(x)为无穷小量，ス湿玪n1+1[]f(x)

~1[]f(x)，于是

玪imln玥(x)=玪im玤(x)玪n1+1[]f(x)

=玪im玤(x)[]f(x)=A.

从而有

玪im1+1[]f(x)

ゞ(x)=玪im玥(x)=玪im玡┆玪n玥(x)=玡┆玪imln玥(x)=玡珹.

定理2 设对于函数f(x)与g(x)，有玪im玣(x)=﹍im玤(x)=0，且玪im玣(x)[]g(x)=A，其中A为常数，则玪im［1+ゝ(x)］1[]g(x)=玡珹.

证 令h(x)=［1+f(x)］1[]g(x)，则玪n玥(x)=1[]g(x)玪n［1+ゝ(x)］.

由定理假设可知f(x)为无穷小量，则玪n［1+f(x)］~ゝ(x)，于是

玪imln玥(x)=玪im玪n［1+f(x)］[]g(x)=玪im玣(x)[]g(x)=A.

从而有

玪im［1+f(x)］1[]g(x)=玪im玥(x)=玪ime┆玪n玥(x)=玡┆玪imln玥(x)=玡珹.

从定理1和定理2可以看出，虽然两定理所求极限形式不同，但本质是相同的，所求极限最终均为1∞型未定式，并且其结果均表现为：玪im1+1[]f(x)

ゞ(x)和玪im［1+f(x)］1[]g(x)两式方括号内1后所加部分与方括号的指数部分乘积的极限为几，所求极限的结果就为玡的几次方.用这种方法求1∞型未定式极限，既简单快捷又方便实用.下面就用这种方法对例1、例2再求解，在对比中体会一下这种方法的简便快捷.

例1 求﹍im玿→∞1-1[]x3x+5.

解 ﹍im玿→∞1-1[]x3x+5=﹍im玿→∞1+1[]-x

3x+5=玡┆﹍im玿→∞3x+5[]-x=玡-3.

例2 求﹍im玿→01-2x[]1+3x1[]x.

解 ﹍im玿→01-2x[]1+3x1[]x=﹍im玿→01+-5x[]1+3x1[]x=玡┆﹍im玿→0-5x[]1+3x•1[]x=玡┆﹍im玿→0-5[]1+3x=玡-5.

下面再用这种简便方法求几个极限，这几个极限若直接用第二个重要极限求解都相当繁琐.

例3 求﹍im玿→∞x[]1+x2x+1.

解 ﹍im玿→∞x[]1+x2x+1=﹍im玿→∞1+-1[]1+x2x+1=玡┆┆﹍im玿→∞-2x-1[]1+x=玡-2.

例4 求﹍im玭→∞1+1[]n+1[]n2琻.

解 ﹍im玭→∞1+1[]n+1[]n2琻=﹍im玭→∞1+n+1[]n2琻=玡┆┆﹍im玭→∞n(n+1)[]n2=玡.

例5 求﹍im玿→0(玞os玿)1[]1-玞os玿.

解 不难看出，所求极限也属于1∞，此时令t=1-玞os玿，则当x→0时，t→0+，于是，有

﹍im玿→0(玞os玿)1[]1-玞os玿=﹍im玹→0+(1-t)1t=玡┆┆﹍imt→0+-t[]t=玡0=1.

从以上各例的求解方法与传统的求解方法对比可以看出，定理1和定理2所介绍的方法，确实是求1∞型未定式极限的一种简便、实用且有效的方法.